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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

cette fonction étant la somme des produits des masses $m,m',m'',\ldots$ prises deux à deux, divisés par les distances mutuelles de ces masses.

Cela posé, si l’on transporte en sens contraire au corps $m$ la force dont $\mathrm {M}$ est animé par l’action du système, on trouvera facilement que, dans son mouvement relatif autour de $\mathrm {M} ,$ il sera animé parallt^lement aux axes des $x,$ des $y$ et des $z$ par les trois forces suivantes :

${\begin{aligned}&-{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}-{\frac {m'x'}{r'^{3}}}-{\frac {m''x''}{r''^{3}}}-\ldots +{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\\&-{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}-{\frac {m'y'}{r'^{3}}}-{\frac {m''y''}{r''^{3}}}-\ldots +{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\\&-{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}-{\frac {m'z'}{r'^{3}}}-{\frac {m''z''}{r''^{3}}}-\ldots +{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.\end{aligned}}$

Ces trois forces tendent à augmenter les coordonnées $x,y,z\,;$ en désignant donc par $dt$ l’élément du temps supposé constant, on aura, par les principes connus de Dynamique, les trois équations différentielles

(1)

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}+{\frac {m'x'}{r'^{3}}}+\ldots -{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},$

(2)

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}+{\frac {m'y'}{r'^{3}}}+\ldots -{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},$

(3)

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}+{\frac {m'z'}{r'^{3}}}+\ldots -{\frac {1}{m}}{\frac {\partial \lambda }{\partial z}},$

En changeant successivement dans ces équations $m,x,y,z,r$ dans $m',x',y',z',r',m'',x'',y'',z'',r'',\ldots$ et réciproquement, on aura les équations différentielles relatives à $m',m'',$ etc.

III.

Si l’on multiplie l’équation (1) par

$2mdx-{\frac {2m(mdx+m'dx'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$

l’équation (2) par

$2mdy-{\frac {2m(mdy+m'dy'+\ldots )}{1+m+m'+\ldots }},$