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ET LES MORTS, ETC.

étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,\ \mathrm {T}$ étant donné par l’équation

$\mathrm {T} ^{2}={\frac {\left({\cfrac {p}{p+q}}-{\cfrac {s}{s+q'}}\right)^{2}(p+q)^{3}(s+q')^{3}}{2sq'(p+q)^{3}+2pq(s+q')^{3}}}.$

On trouvera pareillement que, si $s$ est plus grand que ${\frac {pq'}{q}}$ et qu’il en diffère très peu, la fraction précédente sera à très peu près égale à $1-{\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$ l’intégrale étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty .$ Il suit de là que la probabilité que $p'$ est compris entre les deux nombres $s$ et $s',$ dont le premier est moindre et le second plus grand que ${\frac {pq'}{q}},$ est égale à

$1-{\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}}-{\frac {\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$

la première intégrale étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\infty ,$ et la seconde intégrale étant prise depuis $t=\mathrm {T} '$ jusqu’à $t=\infty ,\ \mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ étant donnés par les deux équations

${\begin{aligned}\mathrm {T} ^{2}\ =&{\frac {\left({\cfrac {p}{p+q}}-{\cfrac {s}{s+q}}\right)^{2}(p+q)^{3}(s+q')^{3}}{2sq'(p+q)^{3}+2pq(s+q')^{3}}},\\\mathrm {T} '^{2}=&{\frac {\left({\cfrac {p}{p+q}}-{\cfrac {s'}{s'+q'}}\right)^{2}(p+q)^{3}(s'+q')^{3}}{2s'q'(p+q)^{3}+2pq(s'+q')^{3}}}.\end{aligned}}$

Supposons

$s={\frac {pq'}{q}}(1-\varpi )\qquad {\text{et}}\qquad s'={\frac {pq'}{q}}(1+\varpi ),$

$\varpi$ étant une très petite fraction ; si l’on néglige les quantités de l’ordre $\varpi ^{3},$ les deux valeurs de $\mathrm {T} ^{2}$ et de $\mathrm {T} '^{2}$ deviendront égales entre elles et à ${\frac {pqq'\varpi ^{2}}{2(p+q)(q+q')}}\,:$ ainsi, en nommant $\mathrm {V} ^{2}$ cette dernière quantité et en désignant par $\mathrm {P}$ la probabilité que le nombre $p'$ sera compris dans les limites ${\frac {pq'}{q}}(1-\varpi )$ et ${\frac {pq'}{q}}(1+\varpi ),$ on aura

$\mathrm {P} =1-{\frac {2\int dte^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}},$