Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/545

fonction nulle ; on aura donc

$-2g\int d\mu d\varpi {\frac {\partial y'}{\partial \varpi }}\gamma {\frac {dv}{dt}}=2g\int y'd\mu d\varpi {\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial \varpi }}\,;$

partant on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d\int \gamma d\mu d\varpi \left[\left({\cfrac {du}{dt}}\right)^{2}+\left({\cfrac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]}{dt}}\\&\qquad =-2g\int y'd\mu d\varpi \left[{\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {du}{dt}}\right){\sqrt {1-\mu ^{2}}}}{\partial \mu }}-{\frac {\partial \left(\gamma {\cfrac {dv}{dt}}\right)}{\partial \varpi }}\right].\end{aligned}}$

L’expression précédente de $y$ donne le second membre de cette équation égal à

$-{\frac {2g}{l}}\int d\mu d\varpi y'{\frac {dy}{dt}}\,;$

on aura donc

(A)

$\quad {\frac {d\int \gamma d\mu d\varpi \left[\left({\cfrac {du}{dt}}\right)^{2}+\left({\cfrac {dv}{dt}}\right)^{2}\left(1-\mu ^{2}\right)\right]}{dt}}=-{\frac {2g}{l}}\int d\mu d\varpi y'{\frac {dy}{dt}}.$

Concevons présentement que $y$ soit développé dans une suite de cette forme

$y=\mathrm {Y_{0}+Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}} +\ldots ,$

$\mathrm {Y_{0},Y_{1},Y_{2}} ,\ldots ,$ étant des fonctions rationnelles et entières de $\mu ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi$ et ${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,$ telles que l’on a généralement

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} _{i}\,;$

il résulte de ce que nous avons démontré dans les Mémoires de l’Académie pour l’année 1782, page 147 ^[1], que si l’on représente par l’unité la densité de la mer, et si l’on fait abstraction de l’action des astres, on a

$\mathrm {V} =4\eta \left(\mathrm {Y_{0}+{\frac {1}{3}}Y_{1}+{\frac {1}{5}}Y_{2}+{\frac {1}{7}}Y_{3}} +\ldots \right),$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 373.