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SUR LES NAISSANCES, LES MARIAGES.
que la probabilité entière de
est égale à
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (p'+q')\int x^{p+p'}dx(1-x)^{q+q'+1}}{1.2.3\ldots p'.1.2.3\ldots q'\int x^{p}dx(1-x)^{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd87df0473d381304c25ef9990fc5c60998ec4a9)
les intégrales du numérateur et du dénominateur étant prises depuis
jusqu’à ![{\displaystyle x=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c68848dcaa8574feb04951e71070f80b77f752)
La probabilité que
est compris depuis
jusqu’à
sera, en vertu de la formule précédente,
![{\displaystyle {\frac {\int x^{p}dx(1-x)^{q+q'+1}\left[1+(q'+1)x+\ldots +{\frac {(q'+1)(q'+2)\ldots (q'+s)}{1.2.3\ldots s}}x^{s}\right]}{\int x^{p}dx(1-x)^{q}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b92258f23af12c23776408099113bc22a317b272)
or,
et
étant supposés de très grands nombres, on trouvera, par l’analyse que j’ai donnée dans le Volume de 1782, page 60[1],
![{\displaystyle 1+(q'+1)x+\ldots +{\frac {(q'+1)\ldots (q'+s)}{1.2.3\ldots s}}x^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58530e943e98d6a81557c7a9153cbc949b6c765)
![{\displaystyle ={\frac {1}{(1-x)^{q'+1}}}{\frac {\int x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}{\int x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72766989bcb40bb2b11b0878bec685899f8acf75)
l’intégrale du numérateur étant prise depuis
jusqu’à
et celle du dénominateur étant prise depuis
jusqu’à
donc la probabilité que
est compris depuis
jusqu’à
est
![{\displaystyle {\frac {\iint x^{p}dx(1-x)^{q}x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}{\iint x^{p}dx(1-x)^{q}x'^{s}dx'(1-x')^{q'}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0239be086267578cb2b9b30ff583a87b8669f4)
les intégrales du numérateur étant prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
celles du dénominateur étant prises depuis
et
nuls jusqu’à
et
égaux à l’unité. Si l’on applique à cette formule l’analyse que nous avons donnée pages 439 et suivantes de ce Volume[2], on trouvera que, si
est moindre et très peu différent de
la fraction précédente sera à très peu près égale à
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité,
étant le rapport de la demi-circonférence au rayon, et l’intégrale relative à ![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
- ↑ Œuvres de Laplace, t. X, p. 264 à 267.
- ↑ Ibid., p. 310 et suivantes.