En faisant donc
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a-\mathrm {A} =&b,\quad &a_{1}-\mathrm {A} =&b_{1},\quad &a_{2}-\mathrm {A} =&b_{2},\quad &\ldots ,\\p-\mathrm {P} =&q,&p_{1}-\mathrm {P} =&q_{1},&p_{2}-\mathrm {P} =&q_{2},&\ldots ,\\\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d1211a8926daac590564948e3342da9a3c82fd2)
les équations (A) deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}b\ \ -q\ \ y=&x,\\b_{1}-q_{1}y=&x_{1},\\b_{2}-q_{2}y=&x_{2},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41bbbde5a0da1b427e3edf2d6122266c3909bad)
Formons les quotients
et disposons-les suivant leur ordre de grandeur, en commençant par le plus grand ; les premiers membres des équations précédentes donneront une suite de cette forme, en écrivant les premiers ceux auxquels répondent les plus grands quotients, et en changeant le signe de ceux dans lesquels j’a un coefficient négatif,
(F)
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Cela posé, il est clair qu’en faisant
infini, chacun des termes de cette suite devient infini ; mais ils diminuent en diminuant
et finissent par devenir négatifs : d’abord le premier, ensuite le second, et ainsi du reste. En diminuant toujours
les termes une fois parvenus à être négatifs continueront de l’être et diminueront sans cesse. Pour avoir la valeur de
qui rend la somme de ces termes pris tous avec le signe
un minimum, on ajoutera les quantités
jusqu’à ce que leur somme commence à surpasser la moitié de la somme entière de toutes ces quantités. Ainsi, en nommant
cette somme, on déterminera
de sorte que
![{\displaystyle {\begin{aligned}h+h_{1}+h_{2}+\ldots +h_{r}\quad >&{\frac {1}{2}}\mathrm {F} ,\\h+h_{1}+h_{2}+\ldots +h_{r-1}<&{\frac {1}{2}}\mathrm {F} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3c265111f65a15fa9e33c45a7ebcf8662ff219)
je dis qu’alors on aura
![{\displaystyle y={\frac {c_{r}}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5ae19667f8f9f82bddbc1ee0f1c133ecbcdc84)