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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

comprise dans la forme $\mathrm {U^{(0)}+U^{(2)}}$ Il faut ainsi, par le théorème de l’article V, ne considérer dans l’expression de $y$ que le terme $\mathrm {Y} ^{(2)}\,;$ or on a, par l’article précédent,

$\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)=\left[{\frac {5}{6}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+{\frac {5}{3}}\mathrm {Y} ^{(2)}\right]\int \rho da^{3},$

$\mathrm {Y} ^{(2)}$ dans le second membre de cette équation étant relatif à la surface ; on réduira donc les moments précédents à ne dépendre que de cette valeur de $\mathrm {Y} ^{(2)}$ et des intégrales $\int \rho da^{3}$ et $\int \rho da^{5},$ prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1.$ Ce résultat est conforme à celui auquel nous sommes parvenu dans l’article précédent sur les moments d’inertie ; d’où il suit que, relativement à la Terre, tous ces moments sont les mêmes que ceux d’un ellipsoïde de révolution, dans lequel les densités des couches suivent la même loi que les densités des couches terrestres, et dont le rayon de la surface extérieure est

$1-0{,}003111\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$

Ainsi les quantités de la précession et de la nutation doivent être exactement les mêmes que celles que l’on obtient en supposant à cette planète la figure d’un semblable ellipsoïde.

XIV.

J’ai déterminé ailleurs, dans cette hypothèse, les phénomènes de la précession et de la nutation [ Mémoires de l’Académie, année 1776, p. 250 et suiv. ^[1]], et je suis parvenu aux résultats suivants.

Si l’on nomme $q$ l’ellipticité de la Terre à sa surface extérieure et que l’on suppose

$\mathrm {E} ={\frac {(2q-\alpha \varphi )\int \rho a^{2}da}{\int \rho a^{4}da}}\,;$

si, de plus, on nomme $\mathrm {S}$ la masse du Soleil ; $s$ sa moyenne distance à la Terre ; $\mathrm {L}$ la masse de la Lune ; et $l$ sa moyenne distance à la Terre. Si l’on prend ensuite pour unité de temps un jour sidéral et que l’on

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 262 et suivantes.