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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.
Si l’on n’a égard qu’à l’action du Soleil, on a, par l’article I,
![{\displaystyle \mathrm {R} =\mathrm {S} {\frac {x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} }{\mathrm {D} ^{3}}}-\mathrm {S} \left[\mathrm {D} ^{2}-2(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} )+r^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b93d504555c290f85997a526e29bbe8a5c5275f)
En réduisant cette expression de
en série et en négligeant les termes de l’ordre
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R={\frac {S}{2D^{3}}}} \left[r^{2}-3{\frac {(x\mathrm {X} +y\mathrm {Y} +z\mathrm {Z} )}{\mathrm {D} ^{2}}}\right]-\mathrm {\frac {S}{D}} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef8d6e1773d796f0af86fc644d3fd19eeab6055)
Si l’on néglige les carrés des inclinaisons des orbites et qu’ainsi l’on suppose
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} =&\mathrm {D} \cos \Pi ,\qquad &\mathrm {Y} =&\mathrm {D} \sin \Pi ,\\x=&r\cos v,&y=&r\sin v,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a70cec5f7031fec0ec4ff63f28b32ae4c784eff)
on aura
![{\displaystyle \mathrm {R} =-\mathrm {\frac {S}{D}} -{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{4\mathrm {D} ^{3}}}\left[1+3\cos 2(v-\Pi )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1db2d5d536ed44c413da894590f97903e5139c4)
et l’équation différentielle (1) de l’article II deviendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)r\delta r}{r^{3}}}&-{\frac {\mathrm {S} }{2}}\int d\left[{\frac {r^{2}}{\mathrm {D} ^{3}}}+{\frac {3r^{2}}{\mathrm {D} ^{3}}}\cos 2(v-\Pi )\right]\\&-{\frac {\mathrm {S} r^{2}}{2\mathrm {D} ^{3}}}\left[1+3\cos 2(v-\Pi )\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd8a66cecacd4fd49afcc0a7d23d3162f78e879)
Si, dans cette équation, on substitue au lieu de
la longitude moyenne du Soleil vu de Jupiter, et qui est égale à
![{\displaystyle 180^{\circ }+\mathrm {M} t+\mathrm {A} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afb81bbb812469c94fbeb3d78532edaa7bbc0a39)
étant la longitude moyenne de Jupiter ; si l’on substitue encore
![{\displaystyle a\left[1+h\cos(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61fb41a83aa4aacfefc63c4e988ca3eca80eee0f)
au lieu de
et
![{\displaystyle nt+\varepsilon -2h\sin(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa927a490c12683086aeba17cd394f5a5e43dfd7)
au lieu de
on aura un terme dépendant de l’angle
![{\displaystyle nt+\varepsilon -2\mathrm {M} t-2\mathrm {A} +ft+\Gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68064679509e5134e9075e543f4c062ec498a871)
et qui, acquérant, par l’intégration, un très petit diviseur, peut