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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

au lieu de $v',$ il en résultera le terme

$-m'h'\left({\frac {2a}{a'^{2}}}-B^{(1)}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\right)\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

On a, par l’article V,

$\mathrm {G} =a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}-{\frac {2n'}{n-n'}}a'\mathrm {B} ^{(1)}+\left({\frac {2n'}{n-n'}}-1\right){\frac {a'^{2}}{a^{2}}}\,;$

or, $n$ étant à très peu près égal à $2n',\ 4a^{3}$ diffère très peu de $a'^{3},$ et par conséquent ${\frac {a'^{2}}{a^{2}}}$ diffère peu de ${\frac {4a}{a'}}\,;$ on pourra donc, sans erreur sensible, substituer ${\frac {\mathrm {G} }{2a'}}$ au lieu de ${\frac {2a}{a'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}\,;$ le terme précèdent devient ainsi

$-{\frac {m'\mathrm {G} h'}{2a'}}\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

Considérons maintenant le terme $-m'\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)$ de l’expression de $\mathrm {R} .$ Si l’on y substitue $a\left[1+h\cos(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )\right]$ au lieu de $r,$ et $nt+\varepsilon -2h\sin(nt+\varepsilon -ft-\Gamma )$ au lieu de $v,$ il en résultera le terme

$-{\frac {m'h}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+4B^{(2)}\right)\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

On a, par l’article V,

$\mathrm {F} =a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(2)},$

d’où il suit que, $n$ étant à fort peu près égal à $2n',$ on peut substituer ${\frac {\mathrm {F} }{a}}$ au lieu de $a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+4B^{(2)}\,;$ le terme précédent se réduit, par cette substitution, à celui-ci :

$-{\frac {m'\mathrm {F} h}{2a}}\cos(nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon '+ft+\Gamma ).$

On s’assurera facilement que, si l’on n’a égard qu’à l’action du satellite $m',$ la fonction $\mathrm {R}$ ne renferme point d’autres termes dépendants de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ',$ et que l’action du Soleil et des autres