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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

la quantité précédente donnera par conséquent un terme dépendant du cosinus de l’angle $nt+\varepsilon -\varpi '\,;$ nous ne conserverons ici que ce terme.

Dans l’orbite elliptique, $v'$ est égal à $n't+\varepsilon '-2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi '),$ ou, ce qui revient au même, à $n't+\varepsilon '+{\frac {2d(r'\delta r')}{a'^{2}n'dt}}\,;$ en substituant cette valeur dans la fonction

${\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-m'\mathrm {B} ^{(1)}\cos(v'-v),$

il en résultera le terme

$-{\frac {2m'd(r'\delta r')}{a'^{2}n'dt}}\left({\frac {a}{a'^{2}}}-\mathrm {B} ^{(1)}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).$

Nous ne retiendrons encore dans ce terme que la partie qui dépend de l’angle $nt+\varepsilon -\varpi '.$

On s’assurera facilement que les termes précédents sont les seuls qui, dans le développement de la fonction $\mathrm {R} ,$ dépendent du sinus et du cosinus de l’angle $nt=\varepsilon ,$ du moins en n’ayant égard qu’aux premières puissances des excentricités ; de plus, on a évidemment, en n’ayant égard qu’à ces termes, $\int \operatorname {d} \mathrm {R=R} ,$ partant

${\begin{aligned}&2\int \operatorname {d} \mathrm {\mathrm {R} } +r{\frac {\partial \mathrm {\mathrm {R} } }{\partial r}}=\\&-{\frac {m'r'\delta r'}{a'^{2}}}\left({\frac {6a}{a'^{2}}}+2a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}+aa'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {2m'd(r'\delta r')}{a'^{2}n'dt}}\left({\frac {3a}{a'^{2}}}-2\mathrm {B} ^{(1)}-a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\,;\end{aligned}}$

l’équation différentielle en ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}$ deviendra ainsi, en n’y considérant que les termes multipliés par $r\delta r,$ et par le sinus et le cosinus de l’angle $nt+\varepsilon ,$ et en y substituant $n^{2},$ au lieu de ${\frac {1}{a^{3}}},$

${\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{a^{2}dt}}+\mathrm {N} ^{2}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}\\&-m'n^{2}{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\left({\frac {6a^{2}}{a'^{2}}}+2aa'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}+a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {2m'n^{2}d(r'\delta r')}{a'^{2}n'dt}}\left({\frac {3a^{2}}{a'^{2}}}-2a\mathrm {B} ^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}\right)\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).\end{aligned}}$