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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

L’action des autres satellites et celle du Soleil ne feront qu’ajouter à cette équation et à l’expression de $\mathrm {N} ^{2}$ des termes semblables à ceux que produit l’action du satellite $m'\,;$ il sera facile de les déterminer par analogie ; ainsi nous en ferons abstraction ici pour simplifier le calcul.

Si l’on intègre l’équation précédente, sans y ajouter de constantes, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {r\delta r}{a^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\mathrm {M} ^{2}}}\left(2\mathrm {K} +{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3a^{2}}}-{\frac {m'a^{2}}{2}}{\frac {\partial \mathrm {\mathrm {B} } ^{(0)}}{\partial a}}\right)\\&-{\frac {m'n^{2}}{(n-n')^{2}-N^{2}}}\left[a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}+{\frac {2n}{n-n'}}\left(a\mathrm {B} ^{(1)}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \times \cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {m'n^{2}}{4(n-n')^{2}-N^{2}}}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(2)}\right)\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {m'n^{2}}{9(n-n')^{2}-N^{2}}}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(3)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(3)}\right)\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

La partie constante de cette expression est ce que nous avons désigné ci-dessus par ${\frac {\delta a}{a}}\,;$ on aura donc, en observant que $\mathrm {N} ^{2}$ diffère extrêmement peu de $n^{2},$

${\frac {\delta a}{a}}=-2\mathrm {K} -{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3a^{2}}}-{\frac {m'a^{2}}{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}.$

Si l’on substitue les valeurs précédentes de $\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}$ et de ${\frac {r\delta r}{a^{2}}}$ dans l’expression de $\delta v,$ donnée par la formule (2) de l’article II ; si l’on néglige les excentricités, et qu’ainsi l’on suppose $r=a,$ on aura, après toutes les réductions,

${\begin{aligned}&\delta v=nt\left[3\mathrm {K} +{\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{a^{2}}}-m'a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}\right]\\&-{\frac {nm'}{n-n'}}\left\{{\frac {n}{n-n'}}\left(a\mathrm {B} ^{(1)}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\right)+{\frac {2\mathrm {N} ^{2}}{(n-n')^{2}-\mathrm {N} ^{2}}}\right.\\&\times \left.\left[a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}+{\frac {2n}{n-n'}}\left(a\mathrm {B} ^{(1)}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\right)\right]\right\}\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {nm'}{2(n-n')}}\\&\times \left[{\frac {n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(2)}+{\frac {2\mathrm {N} ^{2}}{4(n-n')^{2}-\mathrm {N} ^{2}}}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(2)}\right)\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {nm'}{3(n-n')}}\\&\times \left[{\frac {n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(3)}+{\frac {2\mathrm {N} ^{2}}{9(n-n')^{2}-N^{2}}}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(3)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(3)}\right)\right]\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \sin 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$