Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 11.djvu/297

283

DE L’ANNEAU DE SATURNE.

Telle est l’expression générale de $\mathrm {V}$ relative aux sphéroïdes très aplatis. Pour l’appliquer aux anneaux, il faut supposer leur largeur fort considérable relativement à leur épaisseur, car en nommant $l$ la valeur moyenne de $r,\ \mathrm {V}$ sera fonction de $l-r$ et de $z\,;$ ainsi, pour que $\mathrm {A+B} z^{2}$ soit la valeur approchée de $\mathrm {V} ,$ il est nécessaire que $z$ soit fort petit par rapport à $l-r.$ Cela posé, $gr$ étant la force centrifuge du mouvement de rotation du point $m,\ {\frac {1}{2}}gr^{2}$ sera l’intégrale du produit de cette force par l’élément de sa direction ; ${\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$ est la somme de toutes les molécules de Saturne, divisées par leurs distances respectives au point $m$ cette somme est l’intégrale du produit des forces attractives de ces molécules par les éléments de leurs directions, parce que, relativement à chaque molécule, cette intégrale est la molécule même divisée par sa distance au point attiré. $\mathrm {V}$ est pareillement l’intégrale du produit des forces attractives des molécules de l’anneau par les éléments de leurs directions. Maintenant, si le point attiré $m$ est à la surface de l’anneau, la condition de l’équilibre exige que l’intégrale de la somme de toutes les forces dont ce point est animé, multipliées par les éléments de leurs directions, soit égale à une constante ; on aura donc

$\mathrm {const} .={\frac {1}{2}}gr^{2}+\mathrm {V} +{\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}.$

$z$ étant supposé très petit par rapport à $r,$ on a

${\frac {\mathrm {S} }{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}={\frac {\mathrm {S} }{r}}-{\frac {\mathrm {S} z^{2}}{2r^{3}}}\,;$

l’équation précédente deviendra donc, en y substituant pour $\mathrm {V}$ sa valeur approchée,

$\mathrm {const} .=\mathrm {A} +{\frac {1}{2}}gr^{2}+{\frac {\mathrm {S} }{r}}-{\frac {z^{2}}{2r}}\left[{\frac {\mathrm {S} }{r^{2}}}+{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d\mathrm {A} }{dr}}\right)\right].$

Soit $r=l-u,\ u$ étant très petit par rapport à $l,$ et nommons $\mathrm {Q}$ ce que devient $\mathrm {A}$ lorsqu’on y change $r$ dans $l\,;$ on aura, en rejetant les puis-