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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

mais la formule $(a)$ de l’article précédent donne, en y faisant $i=2$ et $s=-{\frac {1}{2}},$

$10\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(2)}=2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+4\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}\,;$

on aura donc

$b_{\frac {1}{2}}^{(1)}={\frac {2\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+3\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

XV.

Pour déterminer présentement les quantités $\mathrm {A^{(0)},A^{(1)},A^{(2)}} ,\ldots$ et leurs différences, on observera que la suite

${\frac {1}{2}}\mathrm {A^{(0)}+A^{(1)}\cos \theta +A^{(2)}} \cos 2\theta +\ldots$

résulte, par l’article VIII, du développement en série de la fonction

${\frac {a\cos \theta }{a'^{2}}}-{\frac {1}{\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}\,;$

en faisant donc ${\frac {a}{a'}}=\alpha ,$ on aura a'

${\frac {a\cos \theta }{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {A^{(0)}+A^{(1)}} \cos \theta +\ldots ,$

ce qui donne généralement

$\mathrm {A} ^{(i)}=-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.$

Cette équation a lieu depuis $i=0$ jusqu’à $i=\infty ,$ excepté dans le cas de $i=1,$ où l’on a

$\mathrm {A} ^{(1)}={\frac {a}{a'^{2}}}-{\frac {1}{a'}}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}.$

On aura ensuite

${\frac {\partial \mathrm {A} ^{(i)}}{\partial a}}=-{\frac {1}{a'}}{\frac {\partial b_{\frac {1}{2}}^{(i)}}{\partial \alpha }}{\frac {\partial \alpha }{\partial a}}\,;$

mais on a

${\frac {\partial \alpha }{\partial a}}={\frac {1}{a'}},$