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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

et, dans le cas de $i=1,$

$\mu =\alpha \left[s+{\frac {s}{1}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right],$

partant

${\begin{aligned}b_{s}^{(0)}=&2\left\{1+s^{2}\alpha ^{2}+\left[{\frac {s(s+1)}{1.2}}\right]^{2}\alpha ^{4}+\left[{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\right]^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right\},\\b_{s}^{(1)}=&2\alpha \left[s+{\frac {s}{1}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)}{1.2}}{\frac {s(s+1)(s+2)}{1.2.3}}\alpha ^{4}+\ldots \right].\end{aligned}}$

Dans la théorie des planètes $s={\frac {1}{2}}\,;$ en substituant donc cette valeur dans les expressions précédentes de $b_{s}^{(0)}$ et de $b_{s}^{(1)},$ on aura les valeurs relatives à cette théorie ; mais ces valeurs ne seront pas fort convergentes si $\alpha$ n’est pas une petite fraction : elles convergent davantage dans le cas de $s=-{\frac {1}{2}},$ et l’on a

${\begin{aligned}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}=&2\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\alpha ^{2}+\left({\frac {1.1}{2.4}}\right)^{2}\alpha ^{4}+\left({\frac {1.1.3}{2.4.6}}\right)^{2}\alpha ^{6}+\ldots \right],\\b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}=&-2\alpha \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\ {\frac {1.1}{2.4}}\alpha ^{2}+{\frac {1.1}{2.4}}\ {\frac {1.1.3}{2.4.6}}\alpha ^{4}-{\frac {1.1.3}{2.4.6}}\ {\frac {1.1.3.5}{2.4.6.8}}\alpha ^{6}-\ldots \right).\end{aligned}}$

Ces deux suites seront très convergentes si $\alpha ^{2}$ est moindre que ${\frac {1}{2}}\,;$ or, dans la théorie de Jupiter et de Saturne, $\alpha ^{2}$ est au-dessous de ${\frac {1}{3}}\,;$ il suffira, par conséquent, de prendre la somme de leurs dix premiers termes, en négligeant les termes suivants, ou, plus exactement, en les sommant comme une progression géométrique dont la raison est $1-\alpha ^{2}.$

Lorsqu’on aura déterminé $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)},$ on aura $b_{\frac {1}{2}}^{(0)}$ en faisant $s=-{\frac {1}{2}}$ et $i=0$ dans la formule $(b)$ de l’article précédent, et l’on trouvera

$b_{\frac {1}{2}}^{(0)}={\frac {\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}+6\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Si, dans la même formule, on suppose $i=1$ et $s=-{\frac {1}{2}},$ on aura

$b_{\frac {1}{2}}^{(1)}={\frac {10\alpha b_{-{\frac {1}{2}}}^{(2)}-\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;$