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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES
Supposons
étant peu considérable ; l’équation précédente donnera
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\varpi }{dt^{2}}}+\alpha n^{2}\varpi =i-3i'+2i''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34bd43d8784e204efaa8cbdddd938abcf1fef4c)
d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle \varpi ={\text{ϐ}}\sin \left(nt{\sqrt {\alpha }}+\gamma \right)+{\frac {i-3i'+2i''}{\alpha n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d0d6a58f8907b6967d9265b498f44743d49cef)
et
étant deux constantes arbitraires, et, comme on a
on aura
![{\displaystyle n-3n'+2n''=n{\text{ϐ}}\cos \left(nt{\sqrt {\alpha }}+\gamma \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be350097a84d80c1976d05ffd75a2ddc1b27738)
ainsi, en négligeant les quantités périodiques, on aura
![{\displaystyle n-3n'+2n''=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6876ecd653d9c622bf721fe48442508fe1576e)
On voit par là que les causes qui peuvent altérer les moyens mouvements des trois premiers satellites de Jupiter ne troublent point le rapport précédent entre ces mouvements ; d’où il suit que, si ces corps sont assujettis à des équations séculaires, celle du premier, plus deux fois celle du troisième, doit être égale à trois fois l’équation séculaire du second.
Pour déterminer ces équations, nous observerons que l’on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle qn^{2}\sin \mathrm {V} ={\frac {qds}{\alpha dt}}-{\frac {q}{\alpha }}(i-3i'+2i'')\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0719af385a2809a67b38bec2a8f48df5db268f)
on aura donc, en rejetant la quantité périodique ![{\displaystyle {\frac {ds}{dt}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3befa0f22887a83e01c0c4302c4d03a97bd94907)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}\ =&i\ -\ {\frac {q}{\alpha }}\quad (i-3i'+2i''),\\{\frac {dn'}{dt}}\,=&i'\,+{\frac {qm}{\alpha m'}}(i-3i'+2i''){\frac {n'^{\frac {4}{3}}(n-n'')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}},\\{\frac {dn''}{dt}}=&i''-{\frac {qm}{\alpha m''}}(i-3i'+2i''){\frac {n''^{\frac {4}{3}}(n-n')}{n^{\frac {4}{3}}(n'-n'')}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19cc361cb91905e0f949e64f65a357fccfce30e1)
Si l’on intègre deux fois de suite ces valeurs de
les termes proportionnels au carré du temps
seront les équations sécu-