toute équation différentielle suppose que les différences de dont elle est composée, divisées par les puissances respectives de et de sont des quantités finies et comparables entre elles ; mais rien n’oblige d’admettre la condition précédente relativement aux différences de de l’ordre ou d’un ordre supérieur ; on doit donc assujettir les fonctions arbitraires de l’intégrale à ce qu’il n’y ait point de saut entre deux valeurs consécutives d’une différence de ces fonctions moindre que et les courbes qui les représentent doivent être assujetties à une condition semblable, en sorte qu’il ne doit point y avoir de saut entre deux tangentes consécutives si l’équation est différentielle du second ordre, ou entre deux rayons osculateurs consécutifs si elle est différentielle du troisième ordre, et ainsi de suite. Par exemple, dans le problème des cordes vibrantes que nous venons d’analyser, et qui conduit à une équation différentielle du second ordre, il est nécessaire que les courbes dont on fait usage pour le construire soient telles que deux côtés configus ne forment point entre eux un angle fini : or, c’est ce qui aura lieu dans la construction que nous avons donnée si la figure initiale de la corde est telle que cette condition soit remplie ; car, en la posant alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe des abscisses, comme nous l’avons prescrit, la courbe infinie qui en résulte satisfait dans toute son étendue à la même condition.
Le seul cas qui semble faire exception à ce que nous venons de dire est celui dans lequel l’intégrale renferme les fonctions arbitraires et leurs différences ; car, en la substituant dans l’équation différentielle pour y satisfaire, on y introduit les différences des fonctions arbitraires d’un ordre supérieur à ce qui suppose que la loi de continuité s’étend au delà des différences de l’ordre mais on doit alors considérer comme les véritables fonctions arbitraires de l’intégrale les différences les plus élevées de ces fonctions, et regarder toutes les différences inférieures comme leurs intégrales successives, moyennant quoi la règle donnée précédemment sur la continuité des fonctions arbitraires et de leurs différences subsistera dans son entier. On peut même la présenter d’une manière plus simple, en obser-
