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$x$ et $x_{1},$ étant des nombres infinis. Cette équation est la même que nous venons de considérer ; ainsi la construction géométrique que nous avons donnée, au moyen du polygone qui représente la valeur de $y_{x,0},$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=n,$ peut être employée dans ce cas : le polygone sera ici la courbe initiale de la corde ; mais, pour cela, il faut supposer $n$ égal à la longueur de la corde et la concevoir partagée dans une infinité de parties ; il faut, de plus, que la corde soit fixe à ses deux extrémités, afin que l’on ait $y_{0,x_{1}}=0$ et $y_{n,x_{1}}=0\,;$ d’ailleurs l’équation de condition

$y_{x,1}-y_{x,0}={\frac {1}{2}}\left(y_{x+1,0}-2y_{x,0}+y_{x-1,0}\right)$

se change dans celle-ci

$dt{\frac {\partial y_{x,0}}{\partial t}}={\frac {1}{2}}dx^{2}{\frac {\partial ^{2}y_{x,0}}{\partial x^{2}}},$

ce qui donne

${\frac {\partial y_{x,0}}{\partial t}}=0\,;$

or ${\frac {\partial y_{x,0}}{\partial t}}$ est la vitesse initiale de la corde ; cette vitesse doit donc être nulle à l’origine du mouvement. Toutes les fois que ces conditions auront lieu, la construction précédente donnera toujours le mouvement de la corde, quelle que soit d’ailleurs sa figure initiale, pourvu cependant que, dans tous ses points, $y_{x+2,0}-2y_{x+1,0}+y_{x,0}$ soit infiniment petit du second ordre, c’est-à-dire que deux côtés contigus de la courbe ne forment point entre eux un angle fini. Cette condition est nécessaire pour que l’équation différentielle du problème puisse subsister, et pour que celle-ci

${\frac {\partial y_{x,0}}{\partial t}}dt={\frac {1}{2}}\left(y_{x+1,0}-2y_{x,0}+y_{x-1,0}\right)$

donne

${\frac {\partial y_{x,0}}{\partial t}}=0\,;$

mais d’ailleurs il est évident, par ce qui précède, que la figure initiale de la corde peut être discontinue et composée d’un nombre quelconque d’arcs de cercle ou de portions de courbe qui se touchent.