et
![{\displaystyle y_{x-n-x_{1},0}=-y_{n+x_{1}-x,0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6558e550f9c0495d22732b32f5c55196102ce6bf)
donc
![{\displaystyle y_{x,x_{1}+n}=-{\frac {1}{2}}y_{n-x-x_{1},0}-{\frac {1}{2}}y_{n-x+x_{1},0}=-y_{n-x,x_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b750707f48f4cb3174747a05f97823b0f442fe86)
Il suit de là que, dans la Table (Z), le
ième rang horizontal est le
ième rang horizontal pris avec un signe contraire et dans un ordre renversé, c’est-à-dire que le terme
ième du rang
ième est le terme
ième du
ième rang pris avec un signe contraire.
On a ensuite
![{\displaystyle y_{x,x_{1}+2n}={\frac {1}{2}}y_{2n+x+x_{1},0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x_{1}-2n,0}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e65b0e9518f34f042bd2c5fe8174210928061839)
on a d’ailleurs
![{\displaystyle y_{2n+x+x_{1},0}=y_{x+x_{1},0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850d22ac84b76fe1c91fdf6bf27b76fe3bfaad7d)
et
![{\displaystyle y_{x-x_{1}-2n,0}=-y_{2n+x_{1}-x,0}=-y_{x_{1}-x,0}=y_{x-x_{1},0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa3d2997a6458004b0330643a60075d098fef115)
partant
![{\displaystyle y_{x,x_{1}+2n}={\frac {1}{2}}y_{x+x_{1},0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x_{1},0}=y_{x,x_{1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f118490503156ce12defb06bef6f33d46c11eb7)
d’où il suit que le
ième rang horizontal est exactement égal au
ième rang.
Considérons présentement les vibrations d’une corde dont la figure initiale soit quelconque, mais fort peu éloignée de l’axe des abscisses ; nommons
l’abscisse,
le temps,
l’ordonnée d’un point quelconque de la corde après le temps
concevons de plus l’abscisse
partagée dans une infinité de petites parties égales à
et que nous prendrons pour l’unité. Cela posé, on aura, par les principes connus de Dynamique,
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}y_{x,t}}{\partial t^{2}}}={\frac {a^{2}}{dx^{2}}}\left(y_{x+1,t}-2y_{x,t}+y_{x-1,t}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc899e38b3f0fc350ae3965325dc214e80fe4cb5)
étant un coefficient constant dépendant de la tension et de la grosseur de la corde. Si l’on fait
on aura
et
deviendra une fonction de
et de
que nous désignerons par
or, la grandeur de
étant arbitraire, on peut la supposer telle que la variation de
soit égale à celle de
que nous avons prise pour l’unité. L’équation précédente deviendra ainsi
![{\displaystyle y_{x,x_{1}+1}-2y_{x,x_{1}}+y_{x,x_{1}-1}=y_{x+1,x_{1}}-2y_{x,x_{1}}+y_{x-1,x_{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e66aa94ee043037e7f1c9b79bb6bb976f787451a)