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Supposons maintenant que, dans la Table suivante

(Z)

$\left\{{\begin{array}{llllllll}y_{0,0},&y_{1,0},&y_{2,0},&y_{3,0},&y_{4,0},&\ldots &y_{n-1,0},&y_{n,0},\\y_{0,1},&y_{1,1},&y_{2,1},&y_{3,1},&y_{4,1},&\ldots &y_{n-1,1},&y_{n,1},\\y_{0,2},&y_{1,2},&y_{2,2},&y_{3,2},&y_{4,2},&\ldots &y_{n-1,2},&y_{n,2},\\y_{0,3},&y_{1,3},&y_{2,3},&y_{3,3},&y_{4,3},&\ldots &y_{n-1,3},&y_{n,3},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\\y_{0,\infty },&y_{1,\infty },&y_{2,\infty },&y_{3,\infty }&y_{4,\infty },&\ldots &y_{n-1,\infty },&y_{n,\infty },\end{array}}\right.$

on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre les deux colonnes verticales extrêmes

${\begin{array}{lllll}y_{0,0},&y_{0,1},&y_{0,2},&\ldots ,&y_{0,\infty },\\y_{n,0},&y_{n,1},&y_{n,2},&\ldots ,&y_{n,\infty },\end{array}}$

et que l’on connaisse de plus fous les termes de ces deux colonnes ; on pourra déterminer toutes les valeurs de $y_{x,x_{1}}$ qui tombent entre ces deux colonnes, car, si l’on veut former le troisième rang horizontal, on reprendra l’équation

$y_{x+1,x_{1}}-2y_{x,x_{1}}+y_{x-1,x_{1}}=y_{x,x_{1}+1}-2y_{x,x_{1}}+y_{x,x_{1}-1},$

qui se réduit à

$y_{x,x_{1}+1}=y_{x+1,x_{1}}+y_{x-1,x_{1}}-y_{x,x_{1}-1}\,;$

en y faisant $x_{1}=1,$ et successivement $x=1,\ x=2,\ x=3,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}y_{1,2}\quad =&y_{2,1}+y_{0,1}\quad -y_{1,0},\\y_{2,2}\quad =&y_{3,1}+y_{1,1}\quad -y_{2,0},\\y_{3,2}\quad =&y_{4,1}+y_{2,1}\quad -y_{3,0},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\y_{n-1,2}=&y_{n,1}+y_{n-2,1}-y_{n-1,0}.\end{aligned}}$

On formera de la même manière le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l’infini ; mais, si l’on voulait déterminer les valeurs de $y_{x,x_{1}}$ qui tombent hors de la Table (Z), les conditions précédentes ne suffiraient pas, et il serait nécessaire d’y en joindre d’autres.