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on aura

1^o $\qquad {\text{⅂}}y_{0,x+x_{1}-2}$ pour le coefficient de $t^{0}t_{1}^{x_{1}}$ dans ${\frac {u}{t_{1}^{x-2}\left(t_{1}^{2}-1\right)}}\,;$

2^o $\qquad {\text{⅂}}y_{0,x_{1}-x}\qquad$ pour ce coefficient dans $\qquad {\frac {ut_{1}^{x}}{t_{1}^{2}-1}}\,;$

3^o $\qquad \Pi y_{1,x+x_{1}}\qquad \ \$ » $\quad \qquad$ » $\quad \qquad$» $\ \qquad {\frac {{\cfrac {u}{t}}{\cfrac {1}{t_{1}^{x}}}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}}\,;$

4^o $\qquad \Pi y_{1,x_{1}-x}\qquad \ \$ » $\quad \qquad$ » $\quad \qquad$» $\ \qquad {\frac {{\cfrac {u}{t}}t_{1}^{x}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}}.$

On aura donc

$y_{x,x_{1}}={\text{⅂}}y_{0,x+x_{1}-2}-{\text{⅂}}y_{0,x_{1}-x}+\Pi y_{1,x+x_{1}}-\Pi y_{1,x_{1}-x}.$

et, si l’on représente

${\text{⅂}}y_{0,x+x_{1}-2}+\Pi y_{1,x+x_{1}}\quad {\text{par}}\quad \varphi (x+x_{1})$

et

$-{\text{⅂}}y_{0,x_{1}-x}-\Pi y_{1,x_{1}-x}\quad {\text{par}}\quad \psi (x_{1}-x),$

$\varphi (x)$ et $\psi (x)$ étant deux fonctions arbitraires de $x,$ on aura

$y_{x,x_{1}}=\varphi (x+x_{1})+\psi (x_{1}-x).$

Cela posé, si l’on multiplie l’équation

$0=t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-t_{1}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{2}$

par $u$ et que l’on repasse des fonctions génératrices à leurs variables correspondantes, on aura l’équation aux différences partielles

$y_{x+1,x_{1}}-2y_{x,x_{1}}+y_{x-1,x_{1}}=y_{x,x_{1}+1}-2y_{x,x_{1}}+y_{x,x_{1}-1}\,;$

son intégrale complète sera par conséquent

$y_{x,x_{1}}=\varphi (x+x_{1})+\psi (x_{1}-x),$

ce qui est visible d’ailleurs par la simple substitution, mais j’ai cru que l’on ne serait pas fâché de voir comment cette intégrale se déduit des méthodes précédentes.