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tielles, supposons que l’on ait l’équation

$0=t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-t_{1}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{2},$

on aura

${\frac {1}{t}}={\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}\pm {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right).$

Soit

${\frac {1}{t^{x}}}=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)},$

$\mathrm {Z}$ et $\mathrm {Z} ^{(1)}$ étant des fonctions de $t_{1}$ et de $x\,;$ on déterminera ces fonctions en substituant successivement dans l’équation précédente, au lieu de ${\frac {1}{t}},$ ses deux valeurs ; ce qui donne

${\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right]^{x}=\mathrm {Z} +\mathrm {Z} ^{(1)}\left[{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right],\\\left[{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right]^{x}=\mathrm {Z} +\mathrm {Z} ^{(1)}\left[{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}t_{1}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right],\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure

${\begin{aligned}\mathrm {Z} \quad =&{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x-2}}}-t_{1}^{x}}{t_{1}^{2}-1}},\\\mathrm {Z} ^{(1)}=&{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x}}}-t_{1}^{x}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}},\end{aligned}}$

partant

${\frac {u}{t^{x}}}=u{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x-2}}}-t_{1}^{x}}{t_{1}^{2}-1}}+{\frac {u}{t}}{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x}}}-t_{1}^{x}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}}.$

Présentement, le coefficient de $t^{0}t_{1}^{r_{1}}$ dans ${\frac {u}{t^{x}}}$ est $y_{x,x_{1}},$ et, si l’on désigne par $\Gamma$ $\lambda _{x}$ et $\Pi \lambda _{x}$ les coefficients de $t^{x}$ dans le développement des fonctions ${\frac {v}{t^{2}-1}}$ et ${\frac {v}{{\cfrac {1}{t}}-1}},\ v$ étant égal à la suite infinie $\lambda _{0}+\lambda _{1}t+\lambda _{2}t^{2}+\ldots ,$