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Pour repasser maintenant des fonctions génératrices à leurs variables correspondantes, nous observerons : 1^o que le coefficient de $t^{0}t_{1}^{0}$ dans ${\frac {u}{t^{x}t^{x_{1}}}}$ est $y_{x,x_{1}}\,;$ 2^o que ce même coefficient dans un terme quelconque tel que $u\left({\frac {1}{t_{1}}}-b\right)^{r}$ ou $ub^{r}\left({\frac {1}{bt_{1}}}-1\right)^{r}$ est égal à

$b^{r}\left[{\frac {y_{0,r}}{b^{r}}}-r{\frac {y_{0,r-1}}{b^{r-1}}}+{\frac {r(r-1)}{1.2}}{\frac {y_{0,r-2}}{b^{r-2}}}-\ldots \right]$

et par conséquent, égal à $b^{r}\sideset {^{1}}{^{r}}\Delta {\frac {y_{0,x_{1}}}{b^{x_{1}}}},$ la caractéristique différentielle $\sideset {^{1}}{}\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x_{1},$ et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; 3^o que ce coefficient, dans $u\left({\frac {1}{t}}-a\right)^{r},$ est $a^{r}\Delta ^{r}{\frac {y_{x,0}}{a^{x}}},$ la caractéristique $\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x,$ et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; on aura donc avec cette condition

$y_{x,x_{1}}=\mathrm {V} b^{x_{1}}\sideset {^{1}}{^{x_{1}}}\Delta {\frac {y_{0,x_{1}}}{b^{x_{1}}}}$

${\begin{aligned}+\mathrm {V} ^{(1)}b^{x_{1}-1}\sideset {^{1}}{^{x_{1}-1}}\Delta {\frac {y_{0,x_{1}}}{b^{x_{1}}}}+\mathrm {V} &^{(2)}b^{x_{1}-2}\sideset {^{1}}{^{x_{1}-2}}\Delta {\frac {y_{0,x_{1}}}{b^{x_{1}}}}+\ldots \\+\mathrm {V} ^{(x_{1})}y_{0,0}+{\frac {\mathrm {V} ^{(x_{1}+1)}}{c+ab}}a\Delta {\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}&-{\frac {\mathrm {V} ^{(x_{1}+2)}}{(c+ab)^{2}}}a^{2}\Delta ^{2}{\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}+\ldots \\&+{\frac {\mathrm {V} ^{(x+x_{1})}}{(c+ab)^{x}}}a^{x}\Delta ^{x}{\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\,;\end{aligned}}$

ce sera l’intégrale complète de l’équation

$y_{x+1,x_{1}+1}-ay_{x,x_{1}+1}-by_{x+1,x_{1}}-cy_{x,x_{1}}=0,$

et il est visible que cette intégrale suppose que l’on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) de l’article XVI.

XXII.

Pour éclaircir par un exemple la méthode que nous avons donnée précédemment pour intégrer les équations aux différences finies par-