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$\mu$ étant un nombre positif, ce qui donne

$0=(f+\mu -1)(\mu -g)+h,$

d’où l’on lire

$\mu ={\frac {1+g-f\pm {\sqrt {(f+g-1)^{2}-4h}}}{2}}.$

Lorsque l’une ou l’autre de ces deux valeurs de $\mu$ est zéro ou un nombre entier positif, alors ${\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right)$ est une fonction rationnelle et entière de $z\,;$ en changeant $f$ en $g$ et réciproquement, on aura

$\mu ={\frac {1+f-g\pm {\sqrt {(f+g-1)^{2}-4h}}}{2}},$

et, si l’une ou l’autre de ces valeurs de $\mu$ est zéro ou un nombre entier positif, la valeur de $\Box \left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)$ sera une fonction rationnelle et entière de $z\,;$ dans tous ces cas, l’expression de $u$ ne dépendra d’aucune intégrale définie ; autrement elle en sera nécessairement dépendante.

Si l’on nomme $x$ la distance d’une molécule d’air a l’origine du son dans l’état d’équilibre ; $x+u$ sa distance après le temps $t,$ on aura

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {ma^{2}}{x}}{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {ma^{2}u}{x^{2}}},$

$a^{2}$ étant un coefficient constant dépendant de l’élasticité et de la densité de l’air, et $m$ étant $0,$ ou $1,$ ou $2,$ suivant que l’on considère l’air ou avec une seule, ou avec deux, ou avec trois dimensions (voir, sur cet objet, les savantes recherches de M. de la Grange sur le son, insérées dans le Tome II des Mémoires de la Société royale de Turin). Soient $x+at=s,\ x-at=s_{1}\,;$ l’équation précédente deviendra

$0={\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}+{\frac {m}{2(s+s_{1})}}\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}\right)-{\frac {mu}{(s+s_{1})^{2}}}\,;$

la formule (V) deviendra donc

$u={\frac {1}{2^{\frac {m}{2}}x^{\frac {m}{2}}}}\left[\int dz{\text{⅃}}\left({\frac {x+at-z}{2x}}\right)\varphi (z)+\int dz{\text{⅃}}\left({\frac {x-at-z}{2x}}\right)\psi (z)\right].$