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définie, c’est-à-dire qu’elle peut être exprimée par des intégrales indéfinies, uniquement relatives aux variables $s$ et $s_{1},$ de l’équation proposée. On peut s’en assurer encore très aisément au moyen de la formule (V), car il est visible que l’intégrale

$\int dz(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)\psi (z)$

sera dans ce cas réductible à des termes de cette forme

$\mathrm {H} \int z^{\mu }dz(s+z)^{f-g}\psi (z),$

$\mu$ étant un nombre entier positif ou zéro ; or on peut, par des intégrations par parties, réduire l’intégrale

$\int z^{\mu }dz(s+z)^{f-g}\psi (z)$

à des termes délivrés du signe $\int$ et à des intégrales de cette forme

$\int dz(s+z)^{r}\psi _{i}(z)\,;$

cette dernière intégrale, devant être prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1},$ est évidemment égale à celle-ci

$\int ds_{1}(s+s_{1})^{r}\psi _{i}(s)$

et, par conséquent, indépendante de toute intégrale définie ; on voit par là comment l’intégrale

$\int dz(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)\psi (z)$

peut se réduire à des intégrales indéfinies, quoique le facteur

$(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)$

puisse ne pas être une fonction rationnelle et entière de $z.$

Maintenant, la condition nécessaire pour que l’expression de ${\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right),$ réduite en série, se termine, est que l’on ait $\mathrm {A} ^{(\mu )}=0,$