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On a d’ailleurs, relativement à l’équation (b_1),

$\theta ={\frac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\,;$

donc

$\Box \left({\frac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)={\frac {(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{f-g}}}$

et

$\Pi \left({\frac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)={\frac {(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{f}}}.$

On aura conséquemment, par l’article XVIII,

(V)

${\begin{aligned}&u={\frac {1}{(s+s_{1})^{f}}}\\&\quad \times \left[\int dz{\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right)\varphi (z)+\int dz(s+z)^{f-g}{\text{⅃}}\left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)\psi (z)\right]\,;\end{aligned}}$

la première intégrale étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ et la seconde étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1}.$

Si l’une ou l’autre des deux quantités ${\text{⅃}}\left({\frac {s-z}{s+s_{1}}}\right)$ et $\Box \left({\frac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right),$ celle-ci par exemple, ${\text{⅃}}\left({\frac {s-z}{s+s_{1}}}\right)$ est une fonction rationnelle et entière de $z,$ alors l’expression de $u,$ considérée relativement à la fonction arbitraire correspondante qui, dans ce cas, est $\varphi (z),$ sera exprimée par une suite finie de termes multipliés par les intégrales successives de $\varphi (s)\,;$ car il est clair qu’alors $\int dz{\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right)\varphi (z)$ sera composé de termes de la forme $\mathrm {H} \int z^{\mu }dz\varphi (z),$$\mu$ étant un nombre entier positif ; or on a, en intégrant par parties,

${\begin{aligned}\int z^{\mu }dz\varphi (z)=&z^{\mu }\varphi _{1}(z)-\mu z^{\mu -1}\varphi _{2}(z)\\&+\mu (\mu -1)z^{\mu -2}\varphi _{3}(z)-\ldots 123\ldots \mu \varphi _{\mu +1}(z)+\mathrm {C} ,\end{aligned}}$

expression délivrée du signe $\int ,$ et dans laquelle on doit faire $z=s.$ On voit ainsi que la partie de l’expression de $u$ relative à la fonction arbitraire $\varphi (z)$ est indépendante, non seulement de toute intégrale définie, mais encore de toute espèce d’intégrale ; or il résulte de ce que j’ai démontré, dans les Mémoires cités de 1773, que l’expression complète de $u$ est alors entièrement indépendante de toute intégrale