Si l’on change
en
et réciproquement
en
dans l’équation
on aura
![{\displaystyle (b_{1})\quad 0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (f-g-2)+1\right]{\frac {dy}{d\theta }}+(fg-g-h)y\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c31def2b602779c740be9754eb5c3d1f80944237)
et si l’on détermine les deux constantes arbitraires, de manière que l’on ait
et
lorsque
en nommant
ce que devient alors
on aura
![{\displaystyle \Pi (s_{1}-z)={\frac {\Box \left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{g}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c595c34053e2d7c48a1e6a001a54e2c1813a0f2e)
Les deux fonctions
et
ont entre elles une relation fort simple, au moyen de laquelle, lorsque l’une des deux sera connue, l’autre le sera pareillement : en effet, si, dans l’équation
on fait
![{\displaystyle y_{1}=(1-\theta )^{f-g}y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ace8cfbc970661f4aa286b0daaa78c67843c8a)
on aura
![{\displaystyle 0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y_{1}}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (g-f-2)+1\right]{\frac {dy_{1}}{d\theta }}+(fg-f-h)y_{1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb69da3015003e62d0a7f7115349957d64d41681)
équation qui est la même que l’équation
De plus, comme on doit avoir, relativement à l’équation
et
lorsque
on aura, dans ce même cas,
et
![{\displaystyle {\frac {dy}{d\theta }}={\frac {dy_{1}}{d\theta }}-(f-g)y_{1}=g-fg+h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a96255b8999b064597295c037188f06479b112)
ce qui donne
![{\displaystyle {\frac {dy_{1}}{d\theta }}=f-fg+h\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a9eed4f0c0c06e147ab5c2899eb1c8add9c896)
ainsi les deux constantes arbitraires de l’intégrale de l’équation en
sont les mêmes que celles de l’intégrale de l’équation
ce qui donne
![{\displaystyle y_{1}={\text{⅃}}(\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2ebbe94774aa2ab598295a78d40d8017e8eb75f)
partant
![{\displaystyle \Box (\theta )=(1-\theta )^{f-g}{\text{⅃}}(\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/283edac70e69042ab50d209074536dfa5086d4ce)