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On aura ainsi

$\Gamma (s-z)=(s+s_{1})^{-f}\left\{{\begin{aligned}&\quad 1+\left[f(1-g)+h\right]{\frac {s-z}{s+s_{1}}}\\+&\left[(f+1)(2-g)+h\right]\left({\frac {s-z}{s+s_{1}}}\right)^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\,;$

donc, si l’on fait ${\frac {s-z}{s+s_{1}}}=\theta ,\ \Gamma (s-z)$ sera égal à une fonction de $\theta ,$ multipliée par $(s+s_{1})^{-f}.$ Nommons $y$ cette fonction, en sorte que

$\Gamma (s-z)=(s+s_{1})^{-f}y,$

$(s+s_{1})^{-f}y$ sera une valeur particulière de $u,$ et l’on aura dans ce cas

${\frac {\partial u}{\partial s}}=-f(s+s_{1})^{-f-1}y+(s+s_{1})^{-f}{\frac {dy}{d\theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial s}}\,;$

or on a

${\frac {\partial \theta }{\partial s}}={\frac {1}{s+s_{1}}}-{\frac {s-z}{(s+s_{1})^{2}}}={\frac {1}{s+s_{1}}}(1-\theta ),$

partant

${\frac {\partial u}{\partial s}}=(s+s_{1})^{-f-1}\left[{\frac {dy}{d\theta }}(1-\theta )-fy\right]\,;$

on trouvera pareillement

${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}=&-(s+s_{1})^{-f-1}\left(fy+\theta {\frac {dy}{d\theta }}\right),\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}=&(s+s_{1})^{-f-2}\\&\qquad \times \left[f(f+1)y+{\frac {dy}{d\theta }}(2f\theta +2\theta -f-1)-\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}\right].\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans l’équation proposée aux différences partielles, on aura l’équation suivante aux différences ordinaires

$(a_{1})\quad 0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (g-f-2)+1\right]{\frac {dy}{d\theta }}+(fg-f-h)y\,;$

il faudra déterminer les deux constantes arbitraires de son intégrale, de manière que l’on ait $y=1$ et ${\frac {y}{\theta }}=f(1-g)+h$ lorsque $\theta =0\,;$ en nommant donc ${\text{⅃}}(\theta )$ ce que devient alors $y,$ on aura

$\Gamma (s-z)={\frac {{\text{⅃}}\left({\cfrac {s-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{f}}}.$