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on voit de plus que, à cause du facteur $e^{-{\frac {bt}{2}}}$ l’ordonnée $u$ de la corde vibrante diminue sans cesse et devient nulle après un temps infini, ce qui d’ailleurs est visible a priori.

XX.

Supposons encore, dans l’équation générale (S) de l’article XVIII, $m={\frac {f}{s+s_{1}}},\ n={\frac {g}{s+s_{1}}}$ et $l={\frac {h}{(s+s_{1})^{2}}},$ en sorte que l’on ait à intégrer cette équation aux différences partielles

(T)

$0={\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}+{\frac {f}{s+s_{1}}}{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {g}{s+s_{1}}}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}+{\frac {hu}{(s+s_{1})^{2}}}\,;$

on s’assurera facilement que les valeurs suivantes satisfont aux équations $(\gamma )$ et $(\gamma _{1})$ de l’article cité

${\begin{aligned}\mathrm {A} \quad =&(s+s_{1})^{-f},\\\mathrm {A} ^{(1)}=&\left[f(1-g)+h\right]{\frac {\mathrm {A} }{s+s_{1}}},\\2\mathrm {A} ^{(2)}=&\left[(f+1)(2-g)+h\right]{\frac {\mathrm {A} ^{(1)}}{s+s_{1}}},\\3\mathrm {A} ^{(3)}=&\left[(f+2)(3-g)+h\right]{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{s+s_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mu \mathrm {A} ^{(\mu )}=&\left[(f+\mu -1)(\mu -g)+h\right]{\frac {\mathrm {A} ^{(\mu -1)}}{s+s_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mathrm {B} \quad =&(s+s_{1})^{-g},\\\mathrm {B} ^{(1)}=&\left[g(1-f)+h\right]{\frac {\mathrm {B} }{s+s_{1}}},\\2\mathrm {B} ^{(2)}=&\left[(g+1)(2-f)+h\right]{\frac {\mathrm {B} ^{(1)}}{s+s_{1}}},\\3\mathrm {B} ^{(3)}=&\left[(g+2)(3-f)+h\right]{\frac {\mathrm {B} ^{(2)}}{s+s_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\mu \mathrm {B} ^{(\mu )}=&\left[(g+\mu -1)(\mu -f)+h\right]{\frac {\mathrm {B} ^{(\mu -1)}}{s+s_{1}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$