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dans cette équation et l’on observera que, dans ce cas,

${\frac {\partial u}{\partial s}}=-ne^{-ms_{1}-ns}y+e^{-ms_{1}-ns}{\frac {\partial y}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial s}}\,;$

or on a

${\frac {\partial \theta }{\partial s}}=s_{1},$

partant

${\frac {\partial u}{\partial s}}=e^{-ms_{1}-ns}\left(-ny+s_{1}{\frac {\partial y}{\partial \theta }}\right).$

On aura pareillement

${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}=&e^{-ms_{1}-ns}\left[-my+(s-z){\frac {\partial y}{\partial \theta }}\right],\\{\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}=&e^{-ms_{1}-ns}\left[-mny-n(s-z){\frac {\partial y}{\partial \theta }}-ms_{1}{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\theta {\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}\right].\end{aligned}}$

Si l’on substitue ces valeurs dans l’équation (S), on aura celle-ci aux différences ordinaires

$0=(l-mn)y+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\theta {\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}},$

et il faudra déterminer les deux constantes arbitraires de son intégrale de manière que l’on ait $y=1$ et ${\frac {\partial y}{\partial \theta }}=mn-l$ lorsque $\theta =0.$ Soit ${\text{⅃}}(\theta )$ ce que devient cette intégrale, on aura

$\Gamma (s-z)=e^{-ms_{1}-ns}{\text{⅃}}\left[s_{1}(s-z)\right]\,;$

il est aisé de voir que l’on aura pareillement

$\Pi (s_{1}-z)=e^{-ms_{1}-ns}{\text{⅃}}\left[s(s_{1}-z)\right],$

partant

$u=e^{-ms_{1}-ns}\left\{\int dz{\text{⅃}}\left[s_{1}(s-z)\right]\varphi (z)+\int dz{\text{⅃}}\left[s(s_{1}-z)\right]\psi (z)\right\},$

l’intégrale du premier terme étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ et l’intégrale du second terme étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1}.$ En effet, si l’on substitue cette valeur de $u$ dans l’équation proposée aux différences partielles, on s’assurera facilement qu’elle y satisfait ; mais, pour faire cette substitution, on doit observer en général que, si l’intégrale $\int udz$ doit être prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ sa