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soient telles que l’on ait

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial s_{1}}}+m\mathrm {P} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {P} _{1}}{\partial s}}+n\mathrm {P} _{1},\end{aligned}}$

$\mathrm {P}$ étant re que devient $p$ lorsqu’on y fait $z=s,$ et $P_{1}$ étant ce que devient $p,$ ]orsqu’on y fait $z=s_{1},$ on aura, pour l’expression complète de $u,$

$u=\int pdz\varphi (z)+\int p_{1}dz\psi (z),$

$\varphi (z)$ et $\psi (z)$ étant deux foncfions arbitraires de $z,$ et l’intégrale du premier treme étant prise depuis $z$ égal à une constante quelconque, que nous supposerons zéro, jusqu’à $z=s,$ celle du second terme étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1}.$

Si l’on change $z$ en $st$ dans le terme $\int pdz\varphi (z),$ et que l’on nomme $q$ ce que devient $p$ par ce changement, on aura

$\int pdz\varphi (z)=\int qsdt\varphi (st),$

et, comme l’intégrale relative à $z$ doit être prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ il est clair que l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=1.$ Si l’on nomme pareillement $q_{1}$ ce que devient $p_{1}$ lorsqu’on y change $z$ en $s_{1}t,$ on aura

$\int p_{1}dz\psi (z)=\int q_{1}s_{1}dt\psi (s_{1}t),$

l’intégrale relative à $t$ étant prise encore depuis $t=0$ jusqu’à $t=1\,;$ on peut conséquemment donner à $u$ cette forme

$u=\int dt\left[sq\varphi (st)+s_{1}q_{1}\psi (s_{1}t)\right],$

l’intégrale étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t=1.$

Si l’on nomme $\mathrm {K}$ l’intégrale $\int pdz\varphi (z)$ prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=\infty \,;$ cette intégrale, prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ sera visiblement égale à $\mathrm {K} -\int pdz\varphi (z),$ cette dernière intégrale étant prise depuis $z=s$ jusqu’à $z=\infty \,;$ donc, si l’on fait $z=s+z_{1}$ et que l’on