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les valeurs particulières de $u$ qui renferment une constante arbitraire $z,$ il faut choisir pour $\Gamma (s-z)$ celle qui donne $0={\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}+mu$ lorsque $z=s,$ parce qu’alors $u$ se réduit à $\mathrm {A} ,$ et que l’on doit avoir $0={\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s_{1}}}\,;$ il faut pareillement choisir pour $\Pi (s_{1}-z)$ une valeur particulière de $u$ qui renferme une constante arbitraire $z,$ et dans laquelle on ait $0={\frac {\partial u}{\partial s}}+nu$ lorsque $z=s',$ parce que dans ce cas $u$ se réduit à $\mathrm {B}$ et que l’on doit avoir $0={\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s}}+n\mathrm {B} .$ On peut parvenir directement à ces résultats de la manière suivante :

Supposons que l’intégrale $\int pdz\varphi (z),$ prise depuis $z$ égal à une constante quelconque jusqu’à $z=s,$ soit une valeur particulière de $u\,;$ on aura, dans ce cas,

${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}=&\int {\frac {\partial p}{\partial s_{1}}}dz\varphi (z),\\{\frac {\partial u}{\partial s}}=&\int {\frac {\partial p}{\partial s}}dz\varphi (z)+\mathrm {P} \varphi (s),\end{aligned}}$

$\mathrm {P}$ étant ce que devient $p$ lorsqu’on y fait $z=s\,;$ de là on tirera

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}=\int {\frac {\partial ^{2}p}{\partial s\partial s_{1}}}dz\varphi (z)+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial s_{1}}}\varphi (s).$

En substituant ces valeurs dans l’équation (S) aux différences partielles, on aura

$0=\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial s_{1}}}+m\mathrm {P} \right)\varphi (s)+\int dz\varphi (z)\left({\frac {\partial ^{2}p}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial p}{\partial s}}+n{\frac {\partial p}{\partial s_{1}}}+lp\right),$

ce qui donne, en égalant séparément à zéro les termes affectés du signe intégral,

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial s_{1}}}+m\mathrm {P} ,\\0=&{\frac {\partial ^{2}p}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial p}{\partial s}}+n{\frac {\partial p}{\partial s_{1}}}+lp.\end{aligned}}$

On voit ainsi que, si l’on a deux valeurs particulières de $u$ représentées par $p$ et $p_{1},$ qui renferment une constante arbitraire $z,$ et qui