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coefficients ; d’où il suit que le coefficient de $\varphi (rds)$ ou $\varphi (z)$ dans l’expression de $a$ sera

$ds\left[\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{1.2.3}}(s-z)^{3}\right.$

$\left.+{\frac {\mathrm {A} ^{(4)}}{1.2.3.4}}(s-z)^{4}+\ldots \right]\,;$

donc, si l’on nomme $\Gamma (s-z)$ la somme de la suite

$\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{1.2.3}}(s-z)^{3}+\ldots$

et que l’on suppose $ds=dz,$ on aura $\int dz\Gamma (s-z)\varphi (z)$ égal à la suite

$\mathrm {A} \varphi _{1}(s)+\mathrm {A} ^{(1)}\varphi _{2}(s)+\mathrm {A} ^{(2)}\varphi _{3}(s)+\mathrm {A} ^{(3)}\varphi _{4}(s)+\ldots ,$

pourvu que l’intégrale soit prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s.$

Si l’on nomme pareillement $\Pi (s-z)$ la somme de la suite

$\mathrm {B} +\mathrm {B} ^{(1)}(s_{1}-z)+{\frac {\mathrm {B} ^{(2)}}{1.2}}(s_{1}-z)^{2}+{\frac {\mathrm {B} ^{(3)}}{1.2.3}}(s_{1}-z)^{3}+\ldots ,$

on trouvera, par le même procédé, que $\int dz\Pi (s_{1}-z)\psi (z)$ est égal à la suite

$\mathrm {B} \psi _{1}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(1)}\psi _{2}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(2)}\psi _{3}(s_{1})+\ldots ,$

pourvu que l’intégrale soit prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s_{1}\,;$ on aura donc

$u=\int dz\Gamma (s-z)\varphi (z)+\int dz\Pi (s_{1}-z)\psi (z),$

l’intégrale du premier terme étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $z=s,$ et celle du second terme étant prise depuis $z=0$ jusqu’à $s=s_{1}.$ On peut observer ici que les fonctions $\Gamma (s-z)$ et $\Pi (s_{1}-z)$ sont autant de valeurs particulières qui satisfont pour $u$ à l’équation proposée aux différences partielles. En effet, il est clair, par la nature des valeurs de $\mathrm {A,A^{(1)},A^{(2)}} ,\ldots ,$ que, si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $u,$ la suite

$\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+\ldots ,$

$z$ étant regardé comme constant, elle sera satisfaite. Mais, parmi toutes