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Lorsque, en satisfaisant à ces équations, on parvient à trouver $\mathrm {A} ^{(\mu )}=0$ ou $\mathrm {B} ^{(\mu )}=0,\ \mu$ étant un nombre entier positif, alors $u$ peut toujours s’exprimer en termes finis, en n’ayant égard qu’aux seules variables $s$ et $s_{1}$ de l’équation. J’ai donné dans les Mémoires cités une méthode générale et fort simple pour avoir dans ce cas l’intégrale complète de cette équation ; mais, si l’une ou l’autre des deux équations $\mathrm {A} ^{(\mu )}=0$ et $\mathrm {B} ^{(\mu )}=0$ ne peut avoir lieu, il faut nécessairement, pour avoir l’expression de $u$ en termes finis, y introduire une nouvelle variable de la manière suivante.

Pour cela, nous observerons que, si l’on fait commencer l’intégrale $\int ds\varphi (s)$ lorsque $s=0,$ on aura

${\begin{aligned}\int ds\varphi (s)=ds&\left\{\varphi (0)+\varphi (ds)+\varphi (2ds)+\varphi (3ds)+\ldots \right.\\&\ \ \qquad \left.+\varphi (rds)+\varphi \left[(r+1)ds\right]+\ldots +\varphi (s)\right\}\,;\end{aligned}}$

donc, si l’on nomme $\mathrm {T}$ la suite

${\begin{aligned}\varphi (0)&+t\varphi (ds)+t^{2}\varphi (2ds)+t^{3}\varphi (3ds)+\ldots \\&+t^{r}\varphi (rds)+t^{r+1}\varphi \left[(r+1)ds\right]+\ldots +t^{\frac {s}{ds}}\varphi (s),\end{aligned}}$

$\int ds\varphi (s)$ ou $\varphi _{1}(s)$ sera égal au coefficient de $t^{\frac {s}{ds}}$ dans le développement de la fonction ${\frac {\mathrm {T} ds}{1-t}}.$ Il est aisé d’en conclure que $\varphi _{2}(s)$ sera égal au coefficient de $t^{\frac {s}{ds}}$ dans le développement de ${\frac {\mathrm {T} ds^{2}}{(1-t)^{2}}},$ généralement, que $\varphi _{\mu }(s)$ sera égal au coefficient de $t^{\frac {s}{ds}}$ dans le développement de ${\frac {\mathrm {T} ds^{\mu }}{(1-t)^{\mu }}}\,;$ d’ailleurs, il est visible que le coefficient de $\varphi (rds)$ dans $\varphi _{\mu }(s)$ est égal au coefficient de $t^{{\frac {s}{ds}}-r}$ dans le développement de ${\frac {ds^{\mu }}{(1-t)^{\mu }}},$ et par conséquent égal à

${\frac {\left({\cfrac {s}{ds}}-r+1\right)\left({\cfrac {s}{ds}}-r+2\right)\left({\cfrac {s}{ds}}-r+3\right)\ldots \left({\cfrac {s}{ds}}-r+\mu -1\right)ds^{\mu }}{1.2.3\ldots (\mu -1)}}.$

Supposons $r$ infini et égal à ${\frac {z}{ds}},$ nous aurons ${\frac {(s-z)^{\mu -1}ds}{1.2.3\ldots (\mu -1)}}$ pour ce