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Toutes les équations linéaires aux différences infiniment petites partielles du second ordre peuvent être mises sous cette forme

(S)

$0={\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}+lu,$

$m,n$ et $l$ étant des fonctions quelconques données de $s$ et de $s_{1},$ et, si l’on nomme $\varphi _{1}(s)$ l’intégrale $\int ds\varphi (s),\ \varphi _{2}(s)$ l’intégrale $\int ds\varphi _{1}(s),\ \varphi _{3}(s)$ l’intégrale $\int ds\varphi _{2}(s),$ et ainsi de suite ; si l’on nomme pareillement $\psi _{1}(s_{1})$ l’intégrale $\int ds_{1}\psi (s_{1}),\ \psi _{2}(s_{1})$ l’intégrale $\int ds_{1}\psi _{1}(s_{1}),\ \psi _{3}(s_{1})$ l’intégrale $\int ds_{1}\psi _{2}(s_{1}),$ et ainsi de suite, la valeur de $u$ peut être exprimée par une suite de cette forme

${\begin{aligned}u=&\quad \ \mathrm {A} \varphi _{1}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(1)}\varphi _{2}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(2)}\varphi _{3}(s)\ \,+\mathrm {A} ^{(3)}\varphi _{4}(s)\ \,+\ldots \\&+\mathrm {B} \psi _{1}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(1)}\psi _{2}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(2)}\psi _{3}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(3)}\psi _{4}(s_{1})+\ldots ,\end{aligned}}$

$\varphi (s)$ et $\psi (s_{1})$ étant deux fonctions arbitraires, l’une de $s$ et l’autre de $s_{1}$ (voir sur cela les Mémoires de l’Académie pour l’année 1773, p. 355 et suiv.)^[1]. Cela posé, si l’on substitue cette valeur de $u$ dans l’équation (S) et que l’on compare séparément les termes multipliés par $\varphi (s),\varphi _{1}(s),\varphi _{2}(s),\ldots ,\psi (s_{1}),\psi _{1}(s_{1}),$$\psi _{2}(s_{1}),\ldots ,$ on aura, pour déterminer $\mathrm {A,A^{(1)},A^{(2)},B,B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots ,$ les équations suivantes :

$(\gamma )\ \quad \left\{{\begin{aligned}0=&\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s_{1}}}\ \ +m\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+m\mathrm {A} ^{(1)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} }{\partial s\partial s_{1}}}\ +m\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s}}\ \ \,+n\ {\frac {\partial \mathrm {A} }{\partial s_{1}}}\ \ +l\mathrm {A} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(2)}}{\partial s_{1}}}+m\mathrm {A} ^{(2)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s}}+n{\frac {\partial \mathrm {A} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+l\mathrm {A} ^{(1)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

$(\gamma ')\quad \left\{{\begin{aligned}0=&\ {\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s}}\ \ +n\mathrm {B} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s}}+n\mathrm {B} ^{(1)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} }{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s}}\quad +n{\frac {\partial \mathrm {B} }{\partial s_{1}}}\quad +l\mathrm {B} ,\\0=&{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial s}}+n\mathrm {B} ^{(2)}+{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s\partial s_{1}}}+m{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s}}+n{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial s_{1}}}+l\mathrm {B} ^{(1)},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

1. Œuvres de Laplace, T. IX, p. 21 et suiv.