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ce qui donne l’équation aux différences finies

$0=\mathrm {A} (r+1)\lambda _{r+1}+\mathrm {B} _{1}r\lambda _{r}-i\mathrm {B} _{1}\lambda _{r}.$

On a ensuite, dans ce cas,

$\mathrm {M} ^{(r)}=\mathrm {B} \lambda _{r}\,;$

la formule $(\lambda )$ de l’article précédent deviendra donc

$y_{i,x_{1}}=B\lambda _{r}y_{0,x_{1}+r}\,;$

ce sera l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles

$0=\mathrm {A} y_{i,x_{1}}+\mathrm {B} y_{i+1,x_{1}}+\mathrm {B} _{1}y_{i,x_{1}+1},$

pourvu que l’intégrale soit prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=i+1,$ et que la constante arbitraire de la valeur de $\lambda _{r}$ soit telle que

$\lambda _{0}=-{\frac {\mathrm {A} ^{i}}{(-\mathrm {B} )^{i+1}}}.$

En passant du fini à l’infiniment petit, la méthode précédente donnera l’intégrale des équations linéaires aux différences infiniment petites partielles dont les coefficients sont constants : 1^o en intégrant une équation linéaire aux différences infiniment petites ; 2^o au moyen d’intégrales définies, ce qui donne l’intégration de ces équations dans une infinité de cas qui se refusent aux méthodes connues ; mais, comme le passage du fini à l’infiniment petit peut offrir ici quelques difficultés, j’ai préféré de chercher une méthode directement applicable aux équations linéaires aux différences infiniment petites partielles, et j’ai trouvé la suivante, qui a l’avantage de s’étendre aux équations linéaires dont les coefficients sont variables. Je me bornerai à considérer les équations différentielles du second ordre comme étant celles qui se présentent le plus fréquemment dans l’application de l’analyse aux questions, physiques.