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Il est visible que dans cette intégrale les quantités $y_{0,x_{1}},y_{1,x_{1}},y_{2,x_{1}},\ldots ,y_{n-1,x_{1}}$ sont les $n$ fonctions arbitraires qu’introduit l’intégration de l’équation $\Delta y_{i,x_{1}}=0\,;$ pour les déterminer, il faut connaître immédiatement, ou du moins pouvoir conclure des conditions du problème les $n$ premiers rangs verticaux de la Table suivante :

(Q)

$\left\{{\begin{array}{lllllllll}y_{0,0},&y_{1,0},&y_{2,0},&y_{3,0},&\ldots &y_{x,0},&y_{x+1,0},&\ldots &y_{\infty ,0},\\y_{0,1},&y_{1,1},&y_{2,1},&y_{3,1},&\ldots &y_{x,1},&y_{x+1,1},&\ldots &y_{\infty ,1},\\y_{0,2},&y_{1,2},&y_{2,2},&y_{3,2},&\ldots &y_{x,2},&y_{x+1,2},&\ldots &y_{\infty ,2},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\\y_{0,x_{1}},&y_{1,x_{1}},&y_{2,x_{1}},&y_{3,x_{1}},&\ldots &y_{x,x_{1}},&y_{x+1,x_{1}},&\ldots &y_{\infty ,x_{1}},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\end{array}}\right.$

Remarque. – Dans un grand nombre de problèmes, et principalement dans ceux qui concernent l’analyse des hasards, les $n$ premiers rangs verticaux sont des suites récurrentes dont la loi est connue ; dans ce cas, $y_{0,x_{1}},y_{1,x_{1}},\ldots$ sont données par des termes de la forme $\mathrm {A} p^{x_{1}}.$ Supposons conséquemment que l’expression de $y_{0,x_{1}}$ renferme le terme $\mathrm {A} p^{x_{1}},w$ la partie correspondante de $\sum \mathrm {M} ^{(r)}y_{0,x_{1}+r}$ sera

$\mathrm {A} p^{x_{1}}\left(\mathrm {M} ^{(0)}+\mathrm {M} ^{(1)}p+\mathrm {M} ^{(2)}p^{2}+\mathrm {M} ^{(3)}p^{3}+\ldots +\mathrm {M} ^{(i)}p^{i}\right)\,;$

mais

$\mathrm {M} ^{(0)}+{\frac {\mathrm {M} ^{(1)}}{t_{1}}}+{\frac {\mathrm {M} ^{(2)}}{t_{1}^{2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {M} ^{(i)}}{t_{1}^{i}}}$

est le développement de

$b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+\ldots$

suivant les puissances de ${\frac {1}{t_{1}}}.$ En changeant donc dans cette dernière quantité ${\frac {1}{t_{1}}}$ en $p$ et nommant $\mathrm {P}$ ce qu’elle devient alors, on aura $\mathrm {AP} p^{x},$ pour la partie de $\sum \mathrm {M} ^{(r)}y_{0,x_{1}+r}$ qui répond au terme $\mathrm {A} p^{x_{1}}.$ Il suit de là que, si la valeur de $y_{0,x_{1}}$ est égale à $\mathrm {A} p^{x_{1}}+\mathrm {A} _{1}p_{1}^{x_{1}}+\mathrm {A} _{2}p_{2}^{x_{1}}+\ldots$ et que l’on nomme $\mathrm {P_{1},P_{2}} ,\ldots$ ce que devient $\mathrm {P} ,$ en y changeant successivement $p$ en $p_{1},p_{2},\ldots ,$ on aura

$\sum \mathrm {M} ^{(r)}y_{0,x_{1}+r}=\mathrm {AP} p^{x_{1}}+\mathrm {A_{1}P_{1}} p_{1}^{x_{1}}+\mathrm {A_{2}P_{2}} p_{2}^{x_{1}}+\ldots .$