Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 10.djvu/64

${\begin{aligned}&+\mathrm {M} _{1}\ \ y_{x+1,x_{1}}+\mathrm {N} _{1}\ \ \Delta y_{x+1,x_{1}}+\ldots \\&+\mathrm {M} _{1}^{(1)}y_{x+1,x_{1}}+\mathrm {N} _{1}^{(1)}\Delta y_{x+1,x_{1}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{1}^{i-1}y_{x+1,x_{1}+i-1}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}y_{x+n-1,x_{1}}\quad +\mathrm {N} _{n-1}\ \ \Delta y_{x+n-1,x_{1}}+\ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}y_{x+n-1,x_{1}+1}+\mathrm {N} _{n-1}^{(1)}\Delta y_{x+n-1,x_{1}+1}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}^{i-n+1}y_{x+n-1,x_{1}+i-n+1}.\end{aligned}}$

XVI.

Si l’on suppose $\nabla y_{i,x_{1}}=0,$ on aura, en faisant $x=0$ dans l’équation précédente,

${\begin{aligned}y_{i,x_{1}}=&\ \quad \mathrm {M} \,\ y_{0,x_{1}}+\mathrm {M} ^{(1)}y_{0,x_{1}+1}+\mathrm {M} ^{(2)}y_{0,x_{1}+2}+\ldots +\mathrm {M} ^{(i)}\quad y_{0,x_{1}+i}\\&+\mathrm {M} _{1}y_{1,x_{1}}+\mathrm {M} _{1}^{(1)}y_{1,x_{1}+1}+\mathrm {M} _{1}^{(2)}y_{1,x_{1}+2}+\ldots +\mathrm {M} _{1}^{(i-1)}y_{1,x_{1}+i-1}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}y_{n-1,x_{1}}+\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}y_{n-1,x_{1}+1}+\ldots +\mathrm {M} _{n-1}^{(i)}y_{n-1,x_{1}+i-n+1}.\end{aligned}}$

$\mathrm {M} ^{(r)},\mathrm {M} _{1}^{(r)},\mathrm {M} _{2}^{(r)},\ldots$ étant des fonctions de $i$ et de $r,$ l’expression précédente de $y_{i,x_{1}}$ peut être mise sous cette forme très simple

$(\lambda )\quad y_{i,x_{1}}=\sum \left(\mathrm {M} ^{(r)}y_{0,x_{1}+r}+\mathrm {M} _{1}^{(r-1)}y_{1,x_{1}+r-1}+\mathrm {M} _{2}^{(r-2)}y_{2,x_{1}+r-2}\right.$

$\left.+\ldots +\mathrm {M} _{n-1}^{(r-n+1)}y_{n-1,x_{1}+r-n+1}\right),$

l’intégrale étant prise par rapport à $r,$ depuis $r=0$ jusqu’à $r=i+1,$ par rapport au premier terme ; depuis $r=1$ jusqu’à $r=i+1$ par rapport au second terme, et ainsi de suite. Cette expression de $y_{i,x_{1}}$ sera l’intéjçraie complète de l’équation $\Delta y_{x,x_{1}}=0,$ ou, ce qui revient au même, de celle-ci

${\begin{aligned}0=\mathrm {A} y_{i,x_{1}}+\mathrm {B} \ y_{i+1,x_{1}}&+\mathrm {C} \ \ y_{i+2,x_{1}}\ \ \ +\ldots +\mathrm {P} y_{i+n-1,x_{1}}+qy_{i-n,x_{1}}\\+\mathrm {B} _{1}y_{i,x_{1}+1}&+\mathrm {C} _{1}y_{i+1,x_{1}+1}+\ldots \\&+\mathrm {C} _{2}y_{i,x_{1}+2}\qquad \quad \ +\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \ +\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +y_{i,x_{1}-n}.\end{aligned}}$