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qu’en développant la quantité

${\begin{aligned}c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}&+\ldots \\&+\ldots \end{aligned}}$

on ait

$\mathrm {M} _{2}+\mathrm {N} _{2}z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} _{2}^{(1)}+\mathrm {N} _{2}^{(1)}z+\ldots \right)+\ldots +\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i-2}}}\mathrm {M} _{2}^{(i-2)},$

et ainsi de suite ; on aura

${\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {M} +\mathrm {N} z+\ldots$

${\begin{aligned}&+{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} ^{(1)}+\mathrm {N} ^{(1)}z+\ldots \right)+{\frac {1}{t_{1}^{2}}}\left(\mathrm {M} ^{(2)}+\mathrm {N} ^{(2)}z+\ldots \right)+\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i}}}\mathrm {M} ^{(i)}\\&+{\frac {1}{t}}\left[\mathrm {M} _{1}+\mathrm {N} _{1}z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} _{1}^{(1)}+\mathrm {N} _{1}^{(1)}z+\ldots \right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{t_{1}^{2}}}\left(\mathrm {M} _{1}^{(2)}+\mathrm {N} _{1}^{(2)}z+\ldots \right)+\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i-1}}}\mathrm {M} _{1}^{({i-1})}\right]\\&+{\frac {1}{t^{2}}}\left[\mathrm {M} _{2}+\mathrm {N} _{2}z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} _{2}^{(1)}+\mathrm {N} _{2}^{(1)}z+\ldots \right)+\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i-2}}}\mathrm {M} _{2}^{({i-2})}\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {1}{t^{n-1}}}\left[\mathrm {M} _{n-1}+\mathrm {N} _{n-1}z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}+\mathrm {N} _{n-1}^{(1)}z+\ldots \right)+\ldots \right.\\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {1}{t_{1}^{i-n+1}}}\mathrm {M} _{n-1}^{({i-n+1})}\right].\end{aligned}}$

Cela posé, si l’on nomme $\nabla y_{x,x_{1}}$ la quantité

${\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,x_{1}}+\mathrm {B} \,\ y_{x+1,x_{1}}+\mathrm {C} \,\ y_{x+2,x_{1}}\quad &+\ldots \\+\mathrm {B} _{1}y_{x,x_{1}+1}+\mathrm {C} _{1}y_{x+1,x_{1}+1}&+\ldots \\+\mathrm {C} _{2}y_{x,x_{1}+2}\quad &+\ldots \\&+\ldots ,\end{aligned}}$

le coefficient de $t^{x}t^{x_{1}}$ dans le développement de la quantité ${\frac {uz^{\mu }}{t^{r}t^{r_{1}}}}$ sera, par l’article XIII, $\nabla ^{\mu }y_{x+r,x_{1}+r_{1}}\,;$ l’équation précédente donnera conséquemment, en la multipliant par $u$ et en passant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,

${\begin{aligned}y_{x+i,x_{1}}=&\ \quad \mathrm {M} \quad y_{x,x_{1}}\quad +\mathrm {N} \quad \nabla y_{x,x_{1}}\ \ \ +\ldots \\&+\mathrm {M} ^{(1)}y_{x,x_{1}+1}+\mathrm {N} ^{(1)}\nabla y_{x,x_{1}+1}+\ldots \\&+\mathrm {M} ^{(2)}y_{x,x_{1}+2}+\mathrm {N} ^{(2)}\nabla y_{x,x_{1}+2}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} ^{(i)}y_{x,x_{1}+i}\end{aligned}}$