Si l’on fait
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} &+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{t_{1}}}+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{t_{1}^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{n_{1}}}}=a,\\\mathrm {B} &+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{t_{1}}}+{\frac {\mathrm {D} _{2}}{t_{1}^{2}}}+\ldots =b,\\\mathrm {C} &+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{t_{1}}}+\ldots =c,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e0f924a5d8150b738c465fdff746397646c4f4)
on aura
![{\displaystyle z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53bc5d686d31722264319643689905130a0f767c)
Il est facile d’en conclure, comme dans l’article V, les valeurs successives de
en fonctions de
et
et il est visible que, dans aucun terme de l’expression de
la somme des puissances de
et de
ne surpassera pas
lorsque
sera un nombre entier positif,
étant supposé égal ou moindre que ![{\displaystyle n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59df02a9f67a5da3c220f1244c99a46cc4eb1c6)
Considérons maintenant la formule (
de l’article V et supposons qu’en développant suivant les puissances de
la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}&b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+bz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132bc4649cf5d5b2206a09bb4d84b47d94c1f530)
on ait
![{\displaystyle \mathrm {M} +\mathrm {N} z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} ^{(1)}+\mathrm {N} ^{(1)}z+\ldots \right)+{\frac {1}{t_{1}^{2}}}\left(\mathrm {M} ^{(2)}+\mathrm {N} ^{(2)}z+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c008fe3af565dc829f08d998bba0029ef504100)
![{\displaystyle +\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i}}}\mathrm {M} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d212bbc872394e07b7d71a35efed8ec3689eeb5)
les puissances ultérieures de
se détruisant réciproquement, puisque l’expression de
ne doit point les renfermer. Supposons pareillement qu’en développant la quantité
![{\displaystyle c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378893468dbe0bc2040cdde01aad720bb0bb7f06)
on ait
![{\displaystyle \mathrm {M} _{1}+\mathrm {N} _{1}z+\ldots +{\frac {1}{t_{1}}}\left(\mathrm {M} _{1}^{(1)}+\mathrm {N} _{1}^{(1)}z+\ldots \right)+{\frac {1}{t_{1}^{2}}}\left(\mathrm {M} _{1}^{(2)}+\mathrm {N} _{1}^{(2)}z+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a274d160d8e090a7ca88229f8f78bcd7d3d2aa39)
![{\displaystyle +\ldots +{\frac {1}{t_{1}^{i-1}}}\mathrm {M} _{1}^{(i-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb01ca08134a7b1d0814cdf0dd2f0c82103e0c55)