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le coefficient de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{r}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{r_{1}}$ étant égal à

${\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}{\frac {i_{1}(i_{1}-1)(i_{1}-2)\ldots (i_{1}-r_{1}+1)}{1.2.3\ldots r_{1}}}.$

Maintenant, le coefficient de $t^{x}t^{x_{1}}$ dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{r}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{r_{1}},$ est $\Delta ^{r}\Delta _{1}^{r_{1}}y_{x,x_{1}}\,;$ on aura donc, en passant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,

${\begin{aligned}y_{x+i,x_{1}+i_{1}}=y_{x,x_{1}}+i\Delta y_{x,x_{1}}\ \ \ &+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x,x_{1}}+\ldots \\+i_{1}\Delta _{1}y_{x,x_{1}}&+i_{1}i\Delta _{1}\Delta y_{x,x_{1}}+\ldots \\&+{\frac {i_{1}(i_{1}-1)}{1.2}}\Delta _{1}^{2}y_{x,x_{1}}+\ldots \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots \\\end{aligned}}$

équation qui peut être mise sous cette forme très simple

$y_{x+i,x_{1}+i_{1}}=\left(1+\Delta y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}},$

pourvu que, dans le développement du second membre de cette dernière équation, on applique aux caractéristiques $\Delta$ et $\Delta _{1}$ les exposants des puissances de $\Delta y_{x,x_{1}}$ et de $\Delta _{1}y_{x,x_{1}}$ et, par conséquent, qu’au lieu du terme tout constant ou multiplié par $\left(\Delta y_{x,x_{1}}\right)^{0}\left(\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{0},$ on écrive $y_{x,x_{1}}.$

XV.

Supposons maintenant que, au lieu d’interpoler suivant les différences de la fonction $y_{x,x_{1}}$ on veuille interpoler suivant d’autres lois ; pour cela, soit

${\begin{aligned}z=\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}\ +{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}\ \,&+\ {\frac {\mathrm {D} }{t^{3}}}\ \ +\ldots +{\frac {p}{t^{n-1}}}+{\frac {q}{t^{n}}}\\+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{t_{1}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{t_{1}t}}&+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{t_{1}t^{2}}}+\ldots \\+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{t_{1}^{2}}}\,&+\ {\frac {\mathrm {D} _{2}}{t_{1}^{2}t}}\ +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \\&\ \,\quad \qquad +{\frac {1}{t_{1}^{n_{1}}}}.\end{aligned}}$