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c’est-à-dire en écrivant, au lieu d’un terme quelconque tel que $\mathrm {K} \left(\Delta y_{x,x_{1}}\right)^{m}\left(\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{m_{1}},$ celui-ci $\mathrm {K} \Delta ^{m}\Delta _{1}^{m_{1}}y_{x,x_{1}}.$

Soient $\sum$ la caractéristique des intégrales finies relatives à $x$ et $\sideset {}{_{1}}\sum$ celle des intégrales relatives à $x_{1}\,;$ soit de plus $z$ la fonction génératrice de $\sideset {}{^{i}}\sum \sideset {}{^{i_{1}}_{1}}\sum y_{x,x_{1}}\,;$ on aura $z\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}$ pour la fonction génératrice de $y_{x,x_{1}}\,;$ cette fonction génératrice doit, en n’ayant égard qu’aux puissances positives on nulles de $t$ et de $t_{1},$ se réduire à $u\,;$ on aura ainsi

${\begin{aligned}z\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}=u&+{\frac {a}{t}}\ \,+{\frac {b}{t^{2}}}\,+{\frac {c}{t^{3}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{s}}}\\&+{\frac {a_{1}}{t_{1}}}+{\frac {b_{1}}{t_{1}^{2}}}+{\frac {c_{1}}{t_{1}^{3}}}+\ldots +{\frac {q_{1}}{t_{1}^{s}}},\end{aligned}}$

$a,b,c,\ldots ,q$ étant des fonctions arbitraires de $t_{1}$ et $a_{1},b_{1},c_{1},\ldots ,q_{1}$ étant des fonctions arbitraires de $t,$ partant

$z=$

${\frac {ut^{i}t_{1}^{i_{1}}+at^{i-1}t_{1}^{i_{1}}+bt^{i-2}t_{1}^{i_{1}}+\ldots +qt_{1}^{i_{1}}+a_{1}t^{i}t_{1}^{i_{1}-1}+b_{1}t^{i}t_{1}^{i_{1}-2}+\ldots +q_{1}t^{i}}{(1-t)^{i}\left(1-t_{1}\right)^{i_{1}}}}.$

XIV.

De l’interpolation des suites à deux variables et de l’intégration des équations linéaires aux différences partielles finies et infiniment petites.

$y_{x+i,x_{1}+i_{1}}$ est évidemment égal au coefficient de $t^{x}t_{1}^{x_{1}}$ dans le développement de ${\frac {u}{t^{i}t_{1}^{i_{1}}}}\,;$ or on a

${\frac {u}{t^{i}t_{1}^{i_{1}}}}=u\left(1+{\frac {1-t}{t}}\right)^{i}\left(1+{\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}\right)^{i_{1}}$

$=u\left\{{\begin{aligned}1&+i{\frac {1-t}{t}}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {1-t}{t}}\right)^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}\left({\frac {1-t}{t}}\right)^{3}+\ldots \\&+i_{1}{\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}+i_{1}i{\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}{\frac {1-t}{t}}+i_{1}{\frac {i(i-1)}{1.2}}{\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}\left({\frac {1-t}{t}}\right)^{2}+\ldots \\&+{\frac {i_{1}(i_{1}-1)}{1.2}}\left({\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}\right)^{2}+{\frac {i_{1}(i_{1}-1)}{1.2}}i\left({\frac {1-t_{1}}{t_{1}}}\right)^{2}{\frac {1-t}{t}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$