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si l’on désigne pareillement par $\nabla ^{2}y_{x,x_{1}}$ une fonction dans laquelle $\nabla y_{x,x_{1}}$ entre de la même manière que $y_{x,x_{1}}$ entre dans $\nabla y_{x,x_{1}}\,;$ si l’on désigne encore par $\nabla ^{3}y_{x,x_{1}}$ une fonction dans laquelle $\nabla ^{2}y_{x,x_{1}}$ entre de la même manière que $y_{x,x_{1}}$ dans $\nabla y_{x,x_{1}},$ et ainsi de suite, la fonction génératrice de $\nabla ^{n}y_{x,x_{1}}$ sera

$u\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}+{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} _{1}}{t}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{tt_{1}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {C} _{2}}{t_{1}^{2}}}+\ldots \right)^{n}\,;$

partant

$ut^{r}t_{1}^{r_{1}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}\left(\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}+\ldots +{\frac {\mathrm {B} _{1}}{t}}+\ldots \right)^{n}$

est la fonction génératrice de $\Delta ^{i}\Delta ^{i_{1}}\nabla ^{n}y_{x-r,x_{1}-r_{1}}.$

$s$ étant supposé une fonction quelconque de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t_{1}}},$ si l’on développe $s^{i}$ suivant les puissances de ces variables et que l’on désigne par ${\frac {\mathrm {K} }{t^{m}t_{1}^{m_{1}}}}$ un terme quelconque de ce développement, le coefficient de $t^{x}t^{x_{1}}$ dans ${\frac {\mathrm {K} u}{t^{m}t_{1}^{m_{1}}}}$ sera $\mathrm {K} y_{x+m,x_{1}+m_{1}}\,;$ on aura donc le coefficient de $t^{x}t^{x_{1}}$ dans $us^{i}$ ou, ce qui revient au même, on aura $\nabla ^{i}y_{x,x_{1}}\,:$ 1^o en substituant, dans $s,\ y_{x}$ au lieu de ${\frac {1}{t}}$ et $y_{x_{1}}$ au lieu de ${\frac {1}{t_{1}}}\,;$ 2^o en développant ce que devient alors $us^{i}$ suivant les puissances de $y_{x}$ et de $y_{x_{1}}$ et en écrivant, au lieu d’un terme quelconque, tel que $\mathrm {K} (y_{x})^{m}\left(y_{x_{1}}\right)^{m_{1}},\ \mathrm {K} y_{x+m,x_{1}+m_{1}}$ et, par conséquent, en substituant $\mathrm {K} y_{x,x_{1}}$ au lieu du terme tout constant $\mathrm {K}$ ou $\mathrm {K} (y_{x})^{0}\left(y_{x_{1}}\right)^{0}.$

Si, au lieu de développer $s^{i}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t_{1}}},$ on le développe suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}-1$ et de ${\frac {1}{t_{1}}}-1,$ et que l’on désigne par $\mathrm {K} \left({\frac {1}{t}}-1\right)^{m}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{m_{1}}$ un terme quelconque de ce développement, le coefficient de $t^{x}t_{1}^{r_{1}}$ dans $\mathrm {K} u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{m}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{m_{1}}$ sera $\mathrm {K} \Delta ^{m}\Delta _{1}^{m_{1}}y_{x,x_{1}}\,;$ on aura donc $\nabla ^{i}y_{x,x_{1}}\,:$ 1^o en substituant, dans $s,\ \Delta y_{x,x_{1}}$ au lieu de ${\frac {1}{t}}-1$ et $\Delta _{1}y_{x,x_{1}}$ au lieu de ${\frac {1}{t_{1}}}-1\,;$ 2^o en développant ce que devient alors $s^{i}$ suivant les puissances de $\Delta y_{x,x_{1}}$ et de $\Delta _{1}y_{x,x_{1}}$ et en appliquant aux caractéristiques $\Delta$ et $\Delta _{1}$ les exposants de ces puissances,