facile de les déduire de la solution générale du problème suivant :
représentant une fonction quelconque linéaire de ![{\displaystyle y_{x},y_{x+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035d076ee269259af57f922ffa0501affcf30b56)
et
une autre fonction linéaire de ces mêmes variables, on propose de trouve l’expression de
dans une suite ordonnée suivant les quantités
Pour cela, soit
la fonction génératrice de
celle de
et
celle de
et
étant fonctions de
on commencera par tirer de l’équation qui exprime la relation de
et de
la valeur de
en
et, en la substituant dans
on aura la valeur de
en
mais, comme il peut arriver que l’on ait plusieurs valeurs de
en
on aura autant d’expressions différentes de
Pour en avoir une qui puisse appartenir indifféremment à toutes ces valeurs de
nous supposerons que le nombre des valeurs de
en
soit
et nous donnerons à l’expression de
la forme suivante
![{\displaystyle s=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)}+{\frac {1}{t^{2}}}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +{\frac {1}{t^{n-1}}}\mathrm {Z} ^{(n-1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/441e178306f6cf430bbcb6a0628ac2a0f37785e3)
étant des fonctions de
qu’il s’agit de déterminer ; or, si l’on substitue successivement dans cette équation, au lieu de
ses
valeurs en
on formera
équations au moyen desquelles on déterminera les
quantités
il ne s’agira plus ensuite que de réduire ces quantités en séries ordonnées par rapport aux puissances de
et de les substituer dans l’équation précédente. Cela posé, si l’on multiplie cette équation par
le coefficient de
dans
sera
ce même coefficient, dans un terme quelconque tel que
sera, par l’article II, égal à
L’équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes, une expression de
par une suite ordonnée suivant les quantités ![{\displaystyle \nabla y_{x},\nabla ^{2}y_{x},\nabla ^{3}y_{x},\ldots ,\nabla y_{x+1},\nabla ^{2}y_{x+1},\ldots ,\nabla y_{x-n-1},\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98054378ccacfea5e0c2d21c8a160464ba1c31e3)
On peut supposer encore, pour plus de généralité, que les quan-