donc
| (9)
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| (10)
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en ayant soin, dans le développement de ces équations, d’écrire 
au lieu de 
et 
au lieu de 
étant quelconque.
Si, dans les formules (7) et (8), on suppose 
infiniment petit et égal à 
se changera dans 
et 
dans 
on a d’ailleurs
![{\displaystyle h^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}=1+dx\log \left[h(1+\Delta y_{x})\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2431a87875cd0fd8dca7571769a415853ac884)
partant, on aura
| (11)
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![{\displaystyle {\frac {d^{n}\left(h^{x}y_{x}\right)}{dx^{n}}}=h^{x}\left[\log h\left(1+\Delta y_{x}\right)\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acd1d25ef77aefb3904def0dbba724a5e133b59c)
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| (12)
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![{\displaystyle \int ^{n}h^{x}y_{x}dx^{n}={\frac {h^{x}}{\left[\log h\left(1+\Delta y_{x}\right)\right]^{n}}}+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\ldots +f.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8373dce0b7ed3e380a49c470d1ad4db390fe1eb0)
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Je dois observer ici que les équations (1), (2), (3), (4), (5) et (6) de l’article précédent ont été trouvées par M. de la Grange, dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1771, au moyen de l’analogie qui existe entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales ; mais cet illustre auteur se contente de la supposer sans en donner la démonstration, qu’il regarde comme très difficile. Quant aux équations (7), (8), (9), (10), (11) et (12), elles sont nouvelles, à l’exception de l’équation (10), dont M. Euler a donné le cas particulier où 
dans ses Institutions de Calcul différentiel.
XII.
On aurait une infinité de théorèmes analogues à ceux des articles précédents si, au lieu de considérer les différences et les intégrales de 
on considérait toute autre fonction de cette variable ; il sera
