le coefficient de 
dans 
sera, quel que soit 
L’équation précédente donnera donc, en repassant par l’article II, des fonctions génératrices à leurs variables correspondantes
| (7)
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![{\displaystyle \sideset {^{1}}{^{n}}\Delta h^{x}y_{x}=h^{x}\left[h^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fb2fdd6192e2f2adc81de547e472cfd1a0fc60c)
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pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique 
les exposants des puissances de 
et qu’ainsi, au lieu de 
on écrive 
c’est-à-dire 
En changeant 
en 
on aura, comme dans l’article précédent,
| (8)
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![{\displaystyle \sideset {^{1}}{^{n}}\sum \left(h^{x}y_{x}\right)={\frac {h^{x}}{\left[h^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n}}}+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\ldots +f,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1c8278abbb0b72b18777e67d12beecdbdd54e7)
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étant les constantes arbitraires de l’intégrale du premier membre, dont l’addition devient inutile dans le cas où 
parce qu’alors le second membre renferme l’intégrale 
qu’il ne renferme plus lorsque 
diffère de l’unité.
Si l’on suppose 
égal à une fonction 
de 
étant égal à 
et 
étant supposé infini, on aura 
la différence 
étant égale à 
de plus, si l’on fait 
on aura 
et la fonction 
se changera dans 
or, si l’on suppose 
infiniment grand et 
il est clair que, 
variant de 
variera de 
en sorte que 
et 
seront la différence et l’intégrale finie ième de 
variant de la quantité 
On a d’ailleurs 
les équations (7) et (8) deviendront conséquemment
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta \left(p^{x_{1}}y_{1}\right)=&p^{x_{1}}\left[p^{\alpha }(1+dy_{1})^{i}-1\right]^{n},\\\sideset {^{1}}{^{n}}\sum \left(p^{x_{1}}y_{1}\right)=&{\frac {p^{x_{1}}}{\left[p^{\alpha }(1+dy_{1})^{i}-1\right]^{n}}}+ax_{1}^{n-1}+bx_{1}^{n-2}+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a520742ae5663ad810ef2d0c247959408f6882ae)
or on a
