Il en est de même de l’équation
en élevant ses deux membres aux puissances et elle sera encore vraie et se changera dans les équations (3) et (4), pourvu que l’on change les puissances positives de et de en différences du même ordre, et les puissances négatives en intégrales du même ordre. On voit, au reste, que ces analogies tiennent à ce que les produits de la fonction génératrice de par les puissances successives de sont les fonctions génératrices des différences finies successives de tandis que les quotients de par ces mêmes puissances sont les fonctions génératrices des intégrales finies de
Les formules précédentes ne peuvent être d’usage que dans le cas où les différences finies et infiniment petites de vont en décroissant ; mais il y a une infinité de cas dans lesquels cela n’a pas lieu et où il est cependant utile d’avoir l’expression des différences et des intégrales en séries convergentes ; le plus simple de tous est celui dans lequel les termes d’une série, dont les différences sont convergentes, sont multipliés par les termes d’une progression géométrique : nous allons nous en occuper d’abord.
Le terme général des suites ainsi formées peut être représenté par étant le terme général d’une suite dont les différences sont convergentes. Cela posé, nommons la somme de la suite infinie
on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}}})-1\right)^{n}=u\left[h^{i}\left(1+{\frac {1}{ht}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6445fd46e65d3a6318c7dbd7ad7b3d4afecdfbf)
Le coefficient de dans le premier membre de cette équation, est la différence finie ième de variant de la quantité d’ailleurs, si l’on développe le second membre par rapport aux puissances de
