abstraction des constantes arbitraires,
(2)
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pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique
les exposants des puissances de à
et que l’on change les différences négatives en intégrales ; et, comme, dans ce développement, l’intégrale
se rencontre, et que cette intégrale peut être censée renfermer
constantes arbitraires, l’équation (2) est encore vraie en ayant égard aux constantes arbitraires.
On peut observer ici que cette équation se déduit de l’équation (1), en y faisant
négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, c’est-à-dire en écrivant
au lieu de
et
au lieu de
Les équations (1) et (2) auraient également lieu si
au lieu de varier de l’unité dans
variait d’une quantité quelconque
mais alors la variation de
dans
au lieu d’être
serait
En effet, il est clair que, si dans
on fait
variera de
lorsque
variera de l’unité ;
se changera ainsi dans
la variation de
étant
et
se changera dans
la variation de
étant
Cela posé, si l’on suppose dans ces équations que la variation de
est infiniment petite et égale à
dans
cette différence se changera dans la différentielle infiniment petite
si, de plus, on fait
infini et
étant une quantité finie, la variation de
dans
sera
On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta y_{x}=\left[(1+dy_{x})^{i}-1\right]^{n},\\\sideset {^{1}}{^{n}}\sum y_{x}={\frac {1}{\left[(1+dy_{x})^{i}-1\right]^{n}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a09cbfc40356533c29334bf1cf174a52770288fd)
or on a
![{\displaystyle \log(1+dy_{x})^{i}=i\log(1+dy_{x})=idy_{x}=idx{\frac {dy_{x}}{dx}}=\alpha {\frac {dy_{x}}{dx}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3b015cf366416803e70aff05504f6beabfe297)
ce qui donne
![{\displaystyle (1+dy_{x})^{i}=e^{\alpha {\frac {dy_{x}}{dx}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa40cf42c303ef475c26d85ef2e7ef3d855814d)