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On a généralement

$u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}\,;$

or il est clair que le coefficient de $t^{x},$ dans le premier membre de cette équation, est la différence $n$^ième de $y_{x},\ x$ variant de $i\,;$ car ce coefficient dans $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)$ est $y_{x+i}-y_{x}$ ou $\sideset {^{1}}{}\Delta y_{x},$ en désignant par la caractéristique $\sideset {^{1}}{}\Delta$ les différences finies, lorsque $x$ varie de la quantité $i\,;$ d’où il est aisé de conclure que ce même coefficient dans le développement de $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{n}$ est $\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta y_{x},$ D’ailleurs, si l’on développe $u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}$ suivant les puissances de ${\frac {1}{t}}-1,$ les coefficients de $t^{x}$ dans les développements de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right),u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2},u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{3},\ldots$ seront, par l’article II, $\Delta y_{x},$$\Delta ^{2}y_{x},\Delta ^{3}y_{x},\ldots \,;$ en sorte que ce coefficient dans $u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}$ sera $\left[(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n},$ pourvu que, dans le développement de cette quantité, on applique à la caractéristique $\delta$ les exposants des puissances de $\Delta y_{x},$ et qu’ainsi, au lieu d’une puissance quelconque $\left(\Delta y_{x}\right)^{m},$ on écrive $\Delta ^{m}y_{x}\,;$ on aura donc

(1)

$\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta y_{x}=\left[(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n}.$

Si l’on désigne par la caractéristique $\sideset {^{1}}{}\sum$ l’intégrale finie lorsque $x$ varie de $i,\ \sideset {^{1}}{^{n}}\sum y_{x}$ sera visiblement égal, par l’article II, au coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction $u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{-n},$ en faisant abstraction ici des constantes arbitraires que l’intégration doit introduire ; or on a

$u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{-n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{i}-1\right]^{-n}\,;$

de plus, le coefficient de $t^{x}$ dans $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{-m}$ est, quel que soit $m,\ \sideset {}{^{m}}\sum y_{x},$ en faisant abstraction des constantes arbitraires, et ce coefficient dans $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{m}$ est $\Delta ^{m}y_{x}\,;$ on aura donc, en faisant toujours