On a généralement
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9092e8a2e0f5a5856b4431f80b58b418d2878edd)
or il est clair que le coefficient de
dans le premier membre de cette équation, est la différence
ième de
variant de
car ce coefficient dans
est
ou
en désignant par la caractéristique
les différences finies, lorsque
varie de la quantité
d’où il est aisé de conclure que ce même coefficient dans le développement de
est
D’ailleurs, si l’on développe
suivant les puissances de
les coefficients de
dans les développements de
seront, par l’article II, ![{\displaystyle \Delta y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4290079fe59d235fe9ab62f9b1241dc943e0bc3)
en sorte que ce coefficient dans
sera
pourvu que, dans le développement de cette quantité, on applique à la caractéristique
les exposants des puissances de
et qu’ainsi, au lieu d’une puissance quelconque
on écrive
on aura donc
(1)
|
|
|
Si l’on désigne par la caractéristique
l’intégrale finie lorsque
varie de
sera visiblement égal, par l’article II, au coefficient de
dans le développement de la fonction
en faisant abstraction ici des constantes arbitraires que l’intégration doit introduire ; or on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}}}-1\right)^{-n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{i}-1\right]^{-n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7789923d00d2e89f48b50cb87f0e58eb6a99213)
de plus, le coefficient de
dans
est, quel que soit
en faisant abstraction des constantes arbitraires, et ce coefficient dans
est
on aura donc, en faisant toujours