IX.
De la transformation des suites.
On voit, par ce qui précède, avec quelle facilité toute la théorie des suites récurrentes découle de la considération des fonctions génératrices ; cette considération peut servir encore à transformer, d’une manière plus générale et plus simple que par les méthodes connues, une suite dans une autre dont les termes suivent une loi donnée.
Pour cela, considérons la suite
(\phi)\qquad \qquads
et nommons, comme ci-dessus, 
la somme de la série
il est visible que le coefficient de 
dans le développement de la fraction 
sera égal à la somme de la suite proposée 
depuis le terme 
jusqu’à l’infini ; or, si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
le numérateur sera divisible par 
et le quotient de la division sera
![{\displaystyle u\left[b+c+e+\ldots +{\frac {1}{t}}(c+e+\ldots )+{\frac {1}{t^{2}}}(e+\ldots )+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e629ba8c6e5d4f5c0afc5dc2eb42ebc86640cd5)
donc, si l’on fait, pour abréger,
on aura
![{\displaystyle {\frac {u}{1-{\cfrac {1}{t}}}}={\frac {u}{\mathrm {K} -z}}\left[b+c+e+\ldots +{\frac {1}{t}}(c+e+\ldots )+{\frac {1}{t^{2}}}(e+\ldots )+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7430d9fc72392b5e5984063dc99719f75e53f367)
