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pression de $\mathrm {X} ^{(s-1)},\ x_{1}$ en $\varpi +x_{1}-r$ et, dans $\mathrm {V} ,\ x,$ en $r-\varpi ,$ et que l’on nomme $\mathrm {R}$ ce que devient la première de ces deux quantités et $\mathrm {S}$ ce que devient la seconde, on aura $y_{2}x_{1}=\int \mathrm {RS} dr,$ l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\varpi +x_{1}\,;$ si l’on suppose, de plus, dans la formule (C), $\nabla ^{s}\varphi (\varpi +x_{1})=0,$ elle donnera

${\begin{aligned}y_{1}x_{1}+\int \mathrm {\mathrm {R} \mathrm {S} } dr=&y_{0}\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+\nabla y_{0}\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(1)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{0}\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(s-1)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(s-1)}}{dx_{1}}}+\ldots \right)\\&+{\frac {dy_{0}}{d\varpi }}\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+\ldots \right)\\&+\nabla \left({\frac {dy_{0}}{d\varpi }}\right)\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(1)}+\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q_{2}{\frac {d^{n-1}y_{0}}{d\varpi ^{n-1}}}\mathrm {X} ^{(0)}+q_{2}\nabla \left({\frac {d^{n-1}y_{0}}{d\varpi ^{n-1}}}\right)\mathrm {X} ^{(1)}+\ldots \\&+q_{2}\nabla ^{s-1}\left({\frac {d^{n-1}y_{0}}{d\varpi ^{n-1}}}\right)\mathrm {X} ^{(s-1)},\end{aligned}}$

$y_{0},{\frac {dy_{0},}{d\varpi }},\ldots ,\nabla y_{0},\nabla \left({\frac {dy_{0}}{d\varpi }}\right),\ldots$ étant les $sn$ constantes arbitraires de l’intégrale de l’équation

$0=\nabla ^{s}\varphi (\varpi +x_{1})\qquad {\text{ou}}\qquad \nabla ^{s}y_{1}x_{1}+\mathrm {V} =0\,;$

la formule précédente servira donc à intégrer toutes les équations linéaires aux différences infiniment petites, dont les coefficients sont constants, lorsqu’elles ont un dernier terme qui est fonction de $x_{1}$ seul.