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l’expression de $\mathrm {X} ^{(s-1)}$ devient, dans ce cas particulier.

${\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)b_{2}^{s}}}x^{s-1}e^{-fx_{1}}\,;$

on aura donc

$\varphi (\varpi +x_{1})$

$=e^{-f\varpi -fx_{1}}\left\{e^{f\varpi }\varphi (\varpi )+{\frac {x_{1}}{b_{2}}}{\frac {d\left[e^{f\varpi }\varphi (\varpi )\right]}{d\varpi }}+{\frac {x_{1}^{2}}{b_{2}^{2}}}{\frac {d^{2}\left[e^{f\varpi }\varphi (\varpi )\right]}{1.2d\varpi ^{2}}}+\ldots \right\}.$

En supposant $b_{2}=1$ et $f=0,$ par conséquent $a_{2}=0,$ on aura la formule connue de Taylor.

La formule (C) se terminera toutes les fois que l’on aura $\nabla ^{s}\varphi (\varpi )=0\,;$ si, par exemple, $\nabla \varphi (\varpi )=0,$ on aura

${\begin{aligned}\varphi (\varpi +x_{1})=&\varphi (\varpi )\left(b_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+c_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}}}+\ldots +q_{2}{\frac {d^{n-1}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}^{n-1}}}\right)\\&+{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }}\left(c_{2}\mathrm {X} ^{(0)}+e_{2}{\frac {d\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}}}+\ldots +q_{2}{\frac {d^{n-2}\mathrm {X} ^{(0)}}{dx_{1}^{n-2}}}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q_{2}\mathrm {X} ^{(0)}{\frac {d^{n-1}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}\,;\end{aligned}}$

ce sera l’intégrale de l’équation $0=\nabla \varphi (\varpi +x_{1})$ ou, ce qui revient au même, de celle-ci

$0=a_{2}\varphi (\varpi +x_{1})+b_{2}{\frac {d\varphi (\varpi +x_{1})}{dx_{1}}}+c_{2}{\frac {d^{2}\varphi (\varpi +x_{1})}{dx_{1}^{2}}}+\ldots$

$+q_{2}{\frac {d^{n}\varphi (\varpi +x_{1})}{dx_{1}^{n}}},$

$\varphi (\varpi ),{\frac {d\varphi (\varpi )}{d\varpi }},{\frac {d^{2}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{2}}},\ldots ,{\frac {d^{n-1}\varphi (\varpi )}{d\varpi ^{n-1}}}$ étant les $n$ constantes arbitraires que l’intégration introduit. On aura, par la même formule, les intégrales des équations

$\nabla ^{2}\varphi (\varpi +x_{1})=0,\qquad \nabla ^{3}\varphi (\varpi +x_{1})=0,\qquad \ldots .$

Si l’on fait

$\varphi (\varpi +x_{1})=y_{1}x_{1}+y_{2}x_{1}$

et que l’on suppose $\nabla ^{s}y_{2}x_{1}=\mathrm {V,\ V}$ étant une fonction donnée de $x_{1},$ on trouvera facilement, par l’article VI, que si l’on change, dans l’ex-